Réglage optimal d'une machine d'atelier

Dans un atelier, le gain de productivité $f$ (en unités arbitraires) obtenu en réglant la vitesse $x$ d'une machine (en milliers de tours par minute, avec $x > 0$) est modélisé par $f(x) = 50\ln(x) - 2x$. On veut trouver le réglage $x$ qui rend ce gain maximal. a) Calculer la dérivée $f'(x)$ et la mettre sous la forme d'une seule fraction. b) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et en déduire les variations de $f$. c) En déduire la vitesse $x$ qui maximise le gain et la valeur de ce gain maximal (on donne $\ln(25) \approx 3{,}22$).