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Rêves Vision
Terminale STI2D

Temps de décharge d'un condensateur

Énoncé

Dans un circuit RC, un condensateur initialement chargé se décharge à travers une résistance. Sa tension (en volts) suit la loi u(t)=E e−t/τu(t) = E\,e^{-t/\tau}, où E=5E = 5 V est la tension initiale et τ=R×C\tau = R \times C la constante de temps. Ici R=10 000 ΩR = 10\,000\ \Omega et C=100 μF=100×10−6C = 100\ \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} F. Déterminer l'instant tt (en secondes) où la tension atteint 11 V.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par calculer la constante de temps τ=R×C\tau = R \times C (attention aux unités : CC est en farads). Tu devrais trouver une valeur très simple.
  2. Écris l'équation u(t)=1u(t) = 1, puis isole l'exponentielle toute seule d'un côté avant de faire quoi que ce soit d'autre.
  3. Une fois e−t/τ=0,2e^{-t/\tau} = 0{,}2, applique le logarithme népérien aux deux membres : ln⁡ ⁣(e−t/τ)\ln\!\left(e^{-t/\tau}\right) se simplifie en −tτ-\dfrac{t}{\tau}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la constante de temps

    On calcule τ=R×C=10 000×100×10−6\tau = R \times C = 10\,000 \times 100 \times 10^{-6}. Or 10 000=10410\,000 = 10^{4} et 100×10−6=10−4100 \times 10^{-6} = 10^{-4}, donc τ=104×10−4=100=1\tau = 10^{4} \times 10^{-4} = 10^{0} = 1 s. La constante de temps vaut τ=1\tau = 1 s.

  2. 2. Écrire l'équation et isoler l'exponentielle

    La tension vaut u(t)=5 e−t/1=5 e−tu(t) = 5\,e^{-t/1} = 5\,e^{-t}. On cherche tt tel que u(t)=1u(t) = 1, soit 5 e−t=15\,e^{-t} = 1. On isole l'exponentielle en divisant par 55 : e−t=15=0,2e^{-t} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2.

  3. 3. Appliquer le logarithme népérien

    On applique ln⁡\ln aux deux membres : ln⁡ ⁣(e−t)=ln⁡(0,2)\ln\!\left(e^{-t}\right) = \ln(0{,}2). Comme ln⁡\ln et l'exponentielle s'annulent, ln⁡ ⁣(e−t)=−t\ln\!\left(e^{-t}\right) = -t. On obtient donc −t=ln⁡(0,2)-t = \ln(0{,}2), c'est-à-dire t=−ln⁡(0,2)t = -\ln(0{,}2).

  4. 4. Calculer la valeur

    Comme ln⁡(0,2)=ln⁡ ⁣(15)=−ln⁡(5)\ln(0{,}2) = \ln\!\left(\dfrac{1}{5}\right) = -\ln(5), on a t=ln⁡(5)≈1,61t = \ln(5) \approx 1{,}61 s. La tension du condensateur atteint 1 V au bout d'environ 1,61 s. Ce résultat est cohérent : après τ=1\tau = 1 s la tension n'est encore qu'à 5×e−1≈1,845 \times e^{-1} \approx 1{,}84 V, il faut donc un peu plus de temps pour descendre à 11 V.
Réponse finale
5 e−t=1  ⟹  e−t=0,2  ⟹  t=−ln⁡(0,2)=ln⁡(5)≈1,61 s5\,e^{-t} = 1 \;\Longrightarrow\; e^{-t} = 0{,}2 \;\Longrightarrow\; t = -\ln(0{,}2) = \ln(5) \approx 1{,}61 \ \text{s}
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