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Rêves Vision
Terminale STI2D

Une variation de pH et le facteur 100

Énoncé

Le pH d'une solution est défini par pH=−log⁡ ⁣(C)\text{pH} = -\log\!\left(C\right), où CC est la concentration en ions H3O+\text{H}_3\text{O}^+ (en mol/L). Un bain de traitement de surface, suivi par un capteur, passe d'une concentration C1C_1 à une concentration C2=100×C1C_2 = 100 \times C_1 (la solution devient 100 fois plus concentrée en ions H3O+\text{H}_3\text{O}^+). Déterminer de combien d'unités varie le pH, et préciser s'il augmente ou diminue.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Écris séparément pH1=−log⁡(C1)\text{pH}_1 = -\log(C_1) et pH2=−log⁡(C2)\text{pH}_2 = -\log(C_2), puis calcule la différence pH2−pH1\text{pH}_2 - \text{pH}_1.
  2. Remplace C2C_2 par 100×C1100 \times C_1, puis utilise la propriété du produit : log⁡(100×C1)=log⁡(100)+log⁡(C1)\log(100 \times C_1) = \log(100) + \log(C_1).
  3. Souviens-toi que log⁡(100)=log⁡ ⁣(102)=2\log(100) = \log\!\left(10^2\right) = 2. Les termes log⁡(C1)\log(C_1) vont se simplifier dans la différence.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Exprimer les deux pH

    Avant : pH1=−log⁡(C1)\text{pH}_1 = -\log(C_1). Après : pH2=−log⁡(C2)=−log⁡(100×C1)\text{pH}_2 = -\log(C_2) = -\log(100 \times C_1). On cherche la variation pH2−pH1\text{pH}_2 - \text{pH}_1.

  2. 2. Utiliser la propriété du produit

    On développe le logarithme du produit : log⁡(100×C1)=log⁡(100)+log⁡(C1)\log(100 \times C_1) = \log(100) + \log(C_1). Comme log⁡(100)=log⁡ ⁣(102)=2\log(100) = \log\!\left(10^2\right) = 2, on obtient log⁡(100×C1)=2+log⁡(C1)\log(100 \times C_1) = 2 + \log(C_1). Donc pH2=−(2+log⁡(C1))=−2−log⁡(C1)\text{pH}_2 = -\big(2 + \log(C_1)\big) = -2 - \log(C_1).

  3. 3. Calculer la variation

    On calcule la différence : pH2−pH1=(−2−log⁡(C1))−(−log⁡(C1))=−2−log⁡(C1)+log⁡(C1)=−2\text{pH}_2 - \text{pH}_1 = \big(-2 - \log(C_1)\big) - \big(-\log(C_1)\big) = -2 - \log(C_1) + \log(C_1) = -2. Les termes log⁡(C1)\log(C_1) se simplifient.

  4. 4. Interpréter le résultat

    La variation vaut −2-2 : le pH diminue de 2 unités lorsque la concentration en ions H3O+\text{H}_3\text{O}^+ est multipliée par 100100. C'est logique : multiplier la concentration par 1010 fait baisser le pH de 11, donc la multiplier par 100=102100 = 10^2 la fait baisser de 22. La solution devient plus acide.
Réponse finale
pH2−pH1=−log⁡(100×C1)+log⁡(C1)=−log⁡(100)=−2(le pH diminue de 2 uniteˊs)\text{pH}_2 - \text{pH}_1 = -\log(100 \times C_1) + \log(C_1) = -\log(100) = -2 \quad (\text{le pH diminue de 2 unités})
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