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Rêves Vision
Terminale STI2D

Approcher une loi binomiale par une loi normale

Énoncé

Un capteur de température envoie une mesure toutes les secondes. À cause du bruit électronique, chaque mesure est « hors tolérance » avec une probabilité p=0,2p = 0{,}2, indépendamment des autres. Sur une fenêtre de n=400n = 400 mesures, on note XX le nombre de mesures hors tolérance ; XX suit la loi binomiale B(400 ; 0,2)\mathcal{B}(400\,;\,0{,}2).

1. Vérifier que la loi de XX peut être approchée par une loi normale, et préciser les paramètres de cette loi normale.
2. En utilisant cette approximation, calculer une valeur approchée de P(72⩽X⩽88)P(72 \leqslant X \leqslant 88).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Commence par vérifier les trois conditions de l'approximation : n⩾30n \geqslant 30, n p⩾5n\,p \geqslant 5 et n (1−p)⩾5n\,(1 - p) \geqslant 5.
  2. La loi normale qui approche la binomiale garde la même moyenne μ=n p\mu = n\,p et le même écart-type σ=n p (1−p)\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}. Calcule-les d'abord.
  3. Compare les bornes 7272 et 8888 à μ=80\mu = 80 : que valent μ−σ\mu - \sigma et μ+σ\mu + \sigma ? Tu reconnais l'intervalle à un écart-type, dont la probabilité est environ 0,680{,}68.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier les conditions d'approximation

    On peut approcher une loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p) par une loi normale lorsque n⩾30n \geqslant 30, n p⩾5n\,p \geqslant 5 et n (1−p)⩾5n\,(1 - p) \geqslant 5. Ici :
    n=400⩾30,n p=400×0,2=80⩾5,n (1−p)=400×0,8=320⩾5.n = 400 \geqslant 30, \qquad n\,p = 400 \times 0{,}2 = 80 \geqslant 5, \qquad n\,(1 - p) = 400 \times 0{,}8 = 320 \geqslant 5.
    Les trois conditions sont satisfaites : l'approximation normale est légitime.

  2. 2. Déterminer les paramètres de la loi normale

    La loi normale qui approche B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p) a la même moyenne et le même écart-type que la loi binomiale :
    μ=n p=400×0,2=80,\mu = n\,p = 400 \times 0{,}2 = 80,
    σ=n p (1−p)=400×0,2×0,8=64=8.\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)} = \sqrt{400 \times 0{,}2 \times 0{,}8} = \sqrt{64} = 8.
    On approche donc XX par une variable YY suivant la loi normale N(80 ; 8)\mathcal{N}(80\,;\,8).

  3. 3. Reconnaître l'intervalle « un écart-type »

    On remarque que les bornes encadrent la moyenne à exactement un écart-type :
    72=80−8=μ−σet88=80+8=μ+σ.72 = 80 - 8 = \mu - \sigma \qquad \text{et} \qquad 88 = 80 + 8 = \mu + \sigma.
    L'intervalle [72 ; 88][72\,;\,88] est donc l'intervalle [μ−σ ; μ+σ][\mu - \sigma\,;\,\mu + \sigma] : on s'attend à une probabilité proche de 0,680{,}68.

  4. 4. Calculer la probabilité approchée

    Avec l'approximation YY suivant N(80 ; 8)\mathcal{N}(80\,;\,8), on lit à la calculatrice (borne basse 7272, borne haute 8888, moyenne 8080, écart-type 88) :
    P(72⩽X⩽88)≈P(72⩽Y⩽88)≈0,68.P(72 \leqslant X \leqslant 88) \approx P(72 \leqslant Y \leqslant 88) \approx 0{,}68.
    C'est cohérent avec le repère « 68 %68\,\% des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne ».
    On approche XX par N(80 ; 8)\mathcal{N}(80\,;\,8), et la probabilité d'avoir entre 7272 et 8888 mesures hors tolérance vaut environ 0,680{,}68.
Réponse finale
μ=400×0,2=80;σ=400×0,2×0,8=8;P(72⩽X⩽88)≈0,68\mu = 400 \times 0{,}2 = 80 \quad ; \quad \sigma = \sqrt{400 \times 0{,}2 \times 0{,}8} = 8 \quad ; \quad P(72 \leqslant X \leqslant 88) \approx 0{,}68
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