Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STI2D

Joueurs qui terminent un niveau d'un mini-jeu

Énoncé

Sur une plateforme de jeux en ligne, un mini-jeu propose un premier niveau d'entraînement que chaque joueur termine avec une probabilité p=0,9p = 0{,}9, indépendamment des autres joueurs. Un soir, n=400n = 400 joueurs lancent ce niveau. On note XX le nombre de joueurs qui terminent le niveau ; XX suit la loi binomiale B(400 ; 0,9)\mathcal{B}(400\,;\,0{,}9).

1. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
2. Calculer l'écart-type σ(X)\sigma(X).
3. Donner, sans calculatrice, une valeur approchée de P(354⩽X⩽366)P(354 \leqslant X \leqslant 366) à l'aide du repère « un écart-type ».

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les paramètres de la loi binomiale

    L'énoncé précise que XX suit la loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p) avec n=400n = 400 répétitions (les 400400 joueurs) et une probabilité de succès p=0,9p = 0{,}9 (le succès étant « le joueur termine le niveau »). Les essais sont indépendants, donc les formules de l'espérance et de l'écart-type d'une loi binomiale s'appliquent.

  2. 2. Calculer l'espérance

    Pour une loi binomiale, l'espérance vaut E(X)=n pE(X) = n\,p, donc :
    E(X)=400×0,9=360.E(X) = 400 \times 0{,}9 = 360.
    En moyenne, sur un grand nombre de soirées de 400400 joueurs, on attend environ 360360 joueurs qui terminent le niveau.

  3. 3. Calculer la variance puis l'écart-type

    La variance vaut V(X)=n p (1−p)V(X) = n\,p\,(1 - p), donc :
    V(X)=400×0,9×0,1=36.V(X) = 400 \times 0{,}9 \times 0{,}1 = 36.
    L'écart-type est la racine carrée de la variance :
    σ(X)=n p (1−p)=36=6 joueurs.\sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)} = \sqrt{36} = 6 \text{ joueurs.}

  4. 4. Reconnaître l'intervalle « un écart-type »

    On compare les bornes 354354 et 366366 à la moyenne μ=E(X)=360\mu = E(X) = 360 :
    354=360−6=μ−σet366=360+6=μ+σ.354 = 360 - 6 = \mu - \sigma \qquad \text{et} \qquad 366 = 360 + 6 = \mu + \sigma.
    L'intervalle [354 ; 366][354\,;\,366] est donc l'intervalle [μ−σ ; μ+σ][\mu - \sigma\,;\,\mu + \sigma]. D'après le repère « un écart-type » d'une loi normale, environ 68 %68\,\% des valeurs s'y trouvent :
    P(354⩽X⩽366)≈0,68.P(354 \leqslant X \leqslant 366) \approx 0{,}68.
    On a E(X)=360E(X) = 360 joueurs et σ(X)=6\sigma(X) = 6 joueurs ; comme [354 ; 366]=[μ−σ ; μ+σ][354\,;\,366] = [\mu - \sigma\,;\,\mu + \sigma], la probabilité P(354⩽X⩽366)P(354 \leqslant X \leqslant 366) vaut environ 0,680{,}68.
Réponse finale
E(X)=400×0,9=360;σ(X)=400×0,9×0,1=36=6;P(354⩽X⩽366)≈0,68E(X) = 400 \times 0{,}9 = 360 \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{400 \times 0{,}9 \times 0{,}1} = \sqrt{36} = 6 \quad ; \quad P(354 \leqslant X \leqslant 366) \approx 0{,}68
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Loi normale et échantillonnage ← Retour au cours

À suivre