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Rêves Vision
Terminale STI2D

Nombre moyen de pièces conformes et écart-type

Énoncé

Une presse d'emboutissage produit des pièces qui sont conformes avec une probabilité p=0,96p = 0{,}96, indépendamment les unes des autres. Le service qualité prélève un échantillon de n=200n = 200 pièces. On note XX le nombre de pièces conformes dans l'échantillon ; XX suit la loi binomiale B(200 ; 0,96)\mathcal{B}(200\,;\,0{,}96).

1. Calculer l'espérance E(X)E(X) et interpréter le résultat.
2. Calculer l'écart-type σ(X)\sigma(X). Arrondir au centième.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier les paramètres de la loi binomiale

    L'énoncé indique que XX suit la loi binomiale B(n ; p)\mathcal{B}(n\,;\,p) avec n=200n = 200 répétitions (les 200200 pièces testées) et une probabilité de succès p=0,96p = 0{,}96 (le succès étant « la pièce est conforme »). On peut donc appliquer directement les formules de l'espérance et de l'écart-type d'une loi binomiale.

  2. 2. Calculer l'espérance

    Pour une loi binomiale, l'espérance vaut E(X)=n pE(X) = n\,p, donc :
    E(X)=200×0,96=192.E(X) = 200 \times 0{,}96 = 192.
    En moyenne, sur un grand nombre d'échantillons de 200200 pièces, on attend 192192 pièces conformes par échantillon.

  3. 3. Calculer la variance puis l'écart-type

    La variance vaut V(X)=n p (1−p)V(X) = n\,p\,(1 - p), donc :
    V(X)=200×0,96×0,04=7,68.V(X) = 200 \times 0{,}96 \times 0{,}04 = 7{,}68.
    L'écart-type est la racine carrée de la variance :
    σ(X)=n p (1−p)=7,68≈2,77 pieˋces.\sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)} = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}77 \text{ pièces.}

  4. 4. Conclure

    On obtient E(X)=192E(X) = 192 et σ(X)≈2,77\sigma(X) \approx 2{,}77. L'écart-type, exprimé dans la même unité que XX (des pièces), reste petit devant l'espérance : les échantillons de 200200 pièces contiennent presque toujours un nombre de pièces conformes proche de 192192.
    En moyenne, un échantillon contient E(X)=192E(X) = 192 pièces conformes, avec un écart-type d'environ σ(X)≈2,77\sigma(X) \approx 2{,}77 pièces.
Réponse finale
E(X)=200×0,96=192;σ(X)=200×0,96×0,04=7,68≈2,77 pieˋcesE(X) = 200 \times 0{,}96 = 192 \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{200 \times 0{,}96 \times 0{,}04} = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}77 \ \text{pièces}
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