Terminale STI2D · Chapitre 10

Loi normale et échantillonnage

Cours de Terminale STI2D sur la loi normale et l'échantillonnage : loi binomiale, approximation normale, intervalle de fluctuation, prise de décision et intervalle de confiance. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

Sur une chaîne de production, on ne teste jamais toutes les pièces une par une : on prélève un échantillon et on en tire une conclusion sur le lot entier. Mais une fréquence mesurée sur 200 pièces n’est jamais exactement égale à la vraie proportion de défauts : elle fluctue. Ce chapitre donne les outils pour maîtriser ces fluctuations : la loi binomiale modélise le comptage de défauts, la loi normale l’approche dès que l’échantillon est grand, l’intervalle de fluctuation permet de décider si un lot respecte une norme, et l’intervalle de confiance permet d’estimer une proportion inconnue. C’est le coeur du contrôle qualité industriel.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

calculer l’espérance $E(X) = n\,p$ et l’écart-type $\sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ d’une loi binomiale ;
reconnaître quand une loi binomiale peut être approchée par une loi normale, et donner les paramètres de cette loi normale ;
lire une probabilité sous la courbe d’une loi normale à la calculatrice ;
construire un intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ et l’utiliser pour prendre une décision sur un lot ;
construire un intervalle de confiance pour estimer une proportion inconnue à partir d’un échantillon.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu travailles au service qualité d’une usine de capteurs. Le fournisseur annonce « moins de $5\,\%$ de pièces défectueuses ». Tu prélèves $250$ pièces : tu en trouves $22$ défectueuses. Faut-il croire le fournisseur ou rejeter le lot ? À l’inverse, si personne ne t’a annoncé de chiffre, comment estimer la vraie proportion de défauts à partir de ton seul échantillon, sans tester les millions de pièces du stock ? Ce chapitre te donne exactement ces deux réflexes. Et le même raisonnement sert ailleurs : estimer le pourcentage de spectateurs qui likent une vidéo, le taux de réussite d’un mini-jeu, la part de batteries d’un modèle qui tiennent plus de deux ans… Partout où on mesure une fréquence sur un échantillon, ces outils s’appliquent.

1. Rappels sur la loi binomiale

Loi binomiale

On répète $n$ fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$ , échec de probabilité $1 - p$ ). La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .

On note : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ . La variable $X$ prend toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ , et :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1 - p)^{\,n - k}.$

Espérance et écart-type d'une loi binomiale

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ , alors :

$E(X) = n\,p, \qquad V(X) = n\,p\,(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}.$

L’espérance $E(X) = n\,p$ donne le nombre moyen de succès attendu sur les $n$ répétitions.
L’écart-type $\sigma(X)$ mesure la dispersion autour de cette moyenne, dans la même unité que $X$ .

Pièces conformes dans un échantillon

Une presse produit des pièces conformes avec une probabilité $p = 0{,}96$ . On prélève $n = 200$ pièces et on note $X$ le nombre de pièces conformes : $X$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;\,0{,}96)$ .

$E(X) = n\,p = 200 \times 0{,}96 = 192 \text{ pièces conformes en moyenne.}$

$\sigma(X) = \sqrt{n\,p\,(1 - p)} = \sqrt{200 \times 0{,}96 \times 0{,}04} = \sqrt{7{,}68} \approx 2{,}77 \text{ pièces.}$

On s’attend donc à environ $192$ pièces conformes par échantillon de $200$ , avec une fluctuation typique de l’ordre de $3$ pièces.

2. La loi normale

Loi normale

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart-type $\sigma$ (avec $\sigma > 0$ ) lorsque sa courbe de densité est la fameuse courbe en cloche, symétrique par rapport à la verticale $x = \mu$ .

On note : $X$ suit la loi $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma)$ . Contrairement à la loi binomiale, $X$ peut prendre toutes les valeurs réelles : c’est une loi continue.

Probabilités et aire sous la courbe

Pour une loi normale, une probabilité se lit comme une aire sous la courbe de densité :

$P(a \leqslant X \leqslant b) = \text{aire sous la courbe entre } a \text{ et } b.$

Conséquences utiles :

l’aire totale sous la courbe vaut $1$ ;
par symétrie, $P(X \leqslant \mu) = P(X \geqslant \mu) = 0{,}5$ ;
pour une loi continue, $P(X = a) = 0$ : peu importe que les inégalités soient strictes ou larges, $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(a < X < b)$ .

Les intervalles « 1, 2, 3 écarts-types »

Pour toute loi normale $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma)$ , les valeurs se concentrent autour de la moyenne selon trois repères à connaître :

$P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0{,}68,$ $P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95,$ $P(\mu - 3\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997.$

Autrement dit, environ $95\,\%$ des valeurs se trouvent à moins de deux écarts-types de la moyenne. C’est ce repère à $0{,}95$ qui servira pour les intervalles de fluctuation et de confiance.

Lire une probabilité à la calculatrice

Sur une loi normale $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma)$ , on calcule $P(a \leqslant X \leqslant b)$ avec la fonction de la calculatrice (souvent notée normalFRép, normalcdf ou NormCD), en renseignant la borne basse $a$ , la borne haute $b$ , la moyenne $\mu$ et l’écart-type $\sigma$ .

Pour les probabilités « ouvertes » d’un seul côté, on remplace la borne manquante par une valeur extrême :

$P(X \leqslant b)$ : borne basse très petite (par exemple $-10^{99}$ ) et borne haute $b$ ;
$P(X \geqslant a)$ : borne basse $a$ et borne haute très grande (par exemple $10^{99}$ ). On peut aussi écrire $P(X \geqslant a) = 1 - P(X \leqslant a)$ .

Tension du secteur électrique

La tension $X$ (en volts) délivrée par une prise suit la loi normale $\mathcal{N}(230\,;\,4)$ . La probabilité que la tension reste entre $228$ V et $233$ V est :

$P(228 \leqslant X \leqslant 233) \approx 0{,}4648 \quad \text{(soit environ } 46{,}5\,\%\text{).}$

La probabilité que la tension ne dépasse pas $235$ V est :

$P(X \leqslant 235) \approx 0{,}8944 \quad \text{(soit environ } 89{,}4\,\%\text{).}$

Ces deux valeurs se lisent directement à la calculatrice avec $\mu = 230$ et $\sigma = 4$ .

3. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

Approximation normale d'une loi binomiale

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ . Lorsque $n$ est assez grand et $p$ ni trop proche de $0$ ni trop proche de $1$ , on peut approcher la loi de $X$ par la loi normale de même moyenne et de même écart-type :

$\mathcal{B}(n\,;\,p) \approx \mathcal{N}\big(\mu\,;\,\sigma\big) \quad \text{avec } \mu = n\,p \ \text{ et } \ \sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}.$

En pratique, on considère l’approximation acceptable lorsque :

$n \geqslant 30, \qquad n\,p \geqslant 5, \qquad n\,(1 - p) \geqslant 5.$

Calculer une probabilité par approximation normale

Vérifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ et que les conditions $n \geqslant 30$ , $n\,p \geqslant 5$ et $n\,(1 - p) \geqslant 5$ sont satisfaites.
Calculer la moyenne $\mu = n\,p$ et l’écart-type $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ .
Remplacer $X$ par une variable $Y$ suivant $\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma)$ .
Lire la probabilité demandée sous la courbe de $Y$ à la calculatrice.

Nombre de pièces hors tolérance dans un échantillon

Une pièce a une probabilité $p = 0{,}2$ d’être hors tolérance. Sur $n = 400$ pièces, $X$ compte le nombre de pièces hors tolérance : $X$ suit $\mathcal{B}(400\,;\,0{,}2)$ .

Conditions : $n = 400 \geqslant 30$ , $n\,p = 80 \geqslant 5$ et $n\,(1 - p) = 320 \geqslant 5$ . L’approximation est légitime.

Paramètres : $\mu = n\,p = 400 \times 0{,}2 = 80$ et $\sigma = \sqrt{400 \times 0{,}2 \times 0{,}8} = \sqrt{64} = 8$ .

On approche alors $X$ par $Y$ suivant $\mathcal{N}(80\,;\,8)$ . Comme $72 = \mu - \sigma$ et $88 = \mu + \sigma$ , l’intervalle $[72\,;\,88]$ est exactement « à un écart-type » :

$P(72 \leqslant X \leqslant 88) \approx P(72 \leqslant Y \leqslant 88) \approx 0{,}68.$

4. Intervalle de fluctuation et prise de décision

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

On suppose connue une proportion $p$ dans une population. Pour un échantillon de taille $n$ (avec $n \geqslant 30$ , $n\,p \geqslant 5$ et $n\,(1 - p) \geqslant 5$ ), l’intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ de la fréquence $F$ observée est :

$I = \left[\, p - 1{,}96\,\sqrt{\dfrac{p\,(1 - p)}{n}} \ ;\ p + 1{,}96\,\sqrt{\dfrac{p\,(1 - p)}{n}} \,\right].$

Il y a environ $95$ chances sur $100$ pour que la fréquence $F$ d’un échantillon de taille $n$ appartienne à cet intervalle $I$ .

Prendre une décision avec un intervalle de fluctuation

On veut tester une hypothèse du type « la proportion vaut $p$ » à partir d’un échantillon.

Hypothèse : on suppose que la proportion annoncée $p$ est exacte.
Intervalle : on calcule l’intervalle de fluctuation $I = \left[\, p - 1{,}96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \ ;\ p + 1{,}96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \,\right]$ .
Fréquence observée : on calcule la fréquence $f = \dfrac{k}{n}$ mesurée sur l’échantillon ( $k$ = effectif observé).
Décision au risque de $5\,\%$ $5 %$ :
- si $f \in I$ , l’écart à $p$ s’explique par le hasard : on accepte l’hypothèse ;
- si $f \notin I$ , l’écart est trop grand pour le hasard : on rejette l’hypothèse.

Un atelier respecte-t-il sa norme de défauts ?

Un atelier garantit une proportion $p = 0{,}05$ de pièces défectueuses. On contrôle $n = 100$ pièces. L’intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ est :

$I = \left[\, 0{,}05 - 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}05 \times 0{,}95}{100}} \ ;\ 0{,}05 + 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}05 \times 0{,}95}{100}} \,\right] \approx [\,0{,}007\ ;\ 0{,}093\,].$

Si l’on trouve $f = \frac{12}{100} = 0{,}12$ , alors $f \notin I$ : on rejette l’hypothèse, l’atelier semble dépasser sa norme. Si l’on trouve $f = \frac{6}{100} = 0{,}06$ , alors $f \in I$ : rien ne permet de remettre en cause la norme annoncée.

5. Intervalle de confiance et estimation d’une proportion

Intervalle de confiance au niveau de 95 %

Cette fois, la proportion $p$ est inconnue : on cherche à l’estimer. Sur un échantillon de taille $n$ , on observe une fréquence $f = \dfrac{k}{n}$ . L’intervalle de confiance au niveau de $95\,\%$ de la proportion $p$ est :

$I_C = \left[\, f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \ ;\ f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right].$

On dit que la proportion inconnue $p$ appartient à cet intervalle avec un niveau de confiance de $95\,\%$ . L’amplitude de l’intervalle vaut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$ : plus l’échantillon est grand, plus l’estimation est précise.

Conditions d’usage : $n \geqslant 30$ , $n\,f \geqslant 5$ et $n\,(1 - f) \geqslant 5$ .

Estimer une proportion par un intervalle de confiance

Calculer la fréquence observée $f = \dfrac{k}{n}$ sur l’échantillon.
Vérifier les conditions $n \geqslant 30$ , $n\,f \geqslant 5$ et $n\,(1 - f) \geqslant 5$ .
Calculer le rayon $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ , puis l’intervalle $I_C = \left[\, f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \ ;\ f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right]$ .
Conclure : la vraie proportion $p$ est encadrée par $I_C$ au niveau de confiance de $95\,\%$ .

Estimer le taux de panne d'un modèle de batterie

Sur un échantillon de $n = 400$ batteries, $k = 34$ tombent en panne avant deux ans. La fréquence observée est $f = \dfrac{34}{400} = 0{,}085$ .

Le rayon vaut $\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05$ . L’intervalle de confiance au niveau de $95\,\%$ est :

$I_C = [\,0{,}085 - 0{,}05 \ ;\ 0{,}085 + 0{,}05\,] = [\,0{,}035\ ;\ 0{,}135\,].$

On estime donc, avec un niveau de confiance de $95\,\%$ , que la proportion réelle de batteries défaillantes est comprise entre $3{,}5\,\%$ et $13{,}5\,\%$ .

Les pièges à éviter

Confondre fluctuation et confiance. C’est faux de croire que les deux intervalles sont interchangeables. Le vrai repère : dans l’intervalle de fluctuation, $p$ est connu et on encadre la fréquence d’un futur échantillon (on décide) ; dans l’intervalle de confiance, $p$ est inconnu et on l’encadre à partir de la fréquence observée (on estime).
Centrer l’intervalle de confiance sur $p$ . C’est faux : on ne connaît pas $p$  ! Le vrai centre de $I_C$ est la fréquence observée $f$ , la seule donnée dont on dispose.
Oublier la racine carrée dans l’écart-type. L’écart-type d’une loi binomiale est $\sigma = \sqrt{n\,p\,(1 - p)}$ , pas $n\,p\,(1 - p)$ (qui est la variance).
Approcher sans vérifier les conditions. On ne remplace une loi binomiale par une loi normale que si $n \geqslant 30$ , $n\,p \geqslant 5$ et $n\,(1 - p) \geqslant 5$ . Sans ces conditions, l’approximation peut être grossièrement fausse.
Mal lire la calculatrice. Beaucoup d’erreurs viennent d’avoir saisi la variance à la place de l’écart-type, ou inversé les bornes : on renseigne toujours moyenne $\mu$ et écart-type $\sigma$ , borne basse puis borne haute.

Le bon réflexe

Pose-toi toujours la question : « connaît-on $p$ ou pas ? ». Si $p$ est donné (une norme, une garantie annoncée), tu es en fluctuation $\to$ tu décides. Si $p$ est ce que tu cherches (une proportion réelle inconnue), tu es en confiance $\to$ tu estimes à partir de $f$ . Et garde en tête le nombre magique $1{,}96$ : c’est lui qui transforme « deux écarts-types » en « seuil de $95\,\%$ ».

Exercices corrigés

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Joueurs qui terminent un niveau d'un mini-jeu

Sur une plateforme de jeux en ligne, un mini-jeu propose un premier niveau d'entraînement que chaque joueur termine avec une probabilité $p = 0{,}9$ , indépendamment des autres joueurs. Un soir, $n = 400$ joueurs lancent ce niveau. On note $X$ le nombre de joueurs qui terminent le niveau ; $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(400\,;\,0{,}9)$ .

1. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
2. Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ .
3. Donner, sans calculatrice, une valeur approchée de $P(354 \leqslant X \leqslant 366)$ à l'aide du repère « un écart-type ».

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Lire une probabilité sous la courbe d'une loi normale

La tension $X$ , en volts, délivrée par une prise de courant suit la loi normale de moyenne $\mu = 230$ V et d'écart-type $\sigma = 4$ V, c'est-à-dire $X$ suit $\mathcal{N}(230\,;\,4)$ .

À l'aide de la calculatrice, calculer les probabilités suivantes (arrondir au dix-millième) :
1. $P(228 \leqslant X \leqslant 233)$ : la tension reste entre $228$ V et $233$ V.
2. $P(X \leqslant 235)$ : la tension ne dépasse pas $235$ V.
3. $P(X \geqslant 225)$ : la tension est au moins égale à $225$ V.

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Nombre moyen de pièces conformes et écart-type

Une presse d'emboutissage produit des pièces qui sont conformes avec une probabilité $p = 0{,}96$ , indépendamment les unes des autres. Le service qualité prélève un échantillon de $n = 200$ pièces. On note $X$ le nombre de pièces conformes dans l'échantillon ; $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(200\,;\,0{,}96)$ .

1. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.
2. Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ . Arrondir au centième.

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Approcher une loi binomiale par une loi normale

Un capteur de température envoie une mesure toutes les secondes. À cause du bruit électronique, chaque mesure est « hors tolérance » avec une probabilité $p = 0{,}2$ , indépendamment des autres. Sur une fenêtre de $n = 400$ mesures, on note $X$ le nombre de mesures hors tolérance ; $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(400\,;\,0{,}2)$ .

1. Vérifier que la loi de $X$ peut être approchée par une loi normale, et préciser les paramètres de cette loi normale.
2. En utilisant cette approximation, calculer une valeur approchée de $P(72 \leqslant X \leqslant 88)$ .

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Décider si un lot respecte la norme de qualité

Un fournisseur garantit que ses résistances respectent la norme avec au plus $5\,\%$ de pièces défectueuses, soit une proportion annoncée $p = 0{,}05$ . À la réception d'un lot, le service qualité contrôle un échantillon de $n = 250$ résistances et en trouve $22$ défectueuses.

1. En supposant l'annonce du fournisseur exacte, déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ de la fréquence de pièces défectueuses sur un échantillon de taille $250$ . Arrondir les bornes au millième.
2. La fréquence observée appartient-elle à cet intervalle ? Que peut-on décider sur le lot, au risque de $5\,\%$  ?

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Estimer la part de spectateurs qui terminent une vidéo

Une créatrice de vidéos veut estimer la proportion réelle, inconnue, de spectateurs qui regardent ses vidéos jusqu'au bout. Pour cela, elle examine un échantillon de $n = 625$ spectateurs tirés au hasard parmi tous ceux qui ont lancé sa dernière vidéo : $425$ d'entre eux l'ont regardée jusqu'au bout.

1. Calculer la fréquence observée $f$ de spectateurs qui terminent la vidéo.
2. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion réelle au niveau de confiance de $95\,\%$ . Donner les bornes sous forme décimale.
3. La créatrice affirme : « plus de $70\,\%$ de mes spectateurs vont au bout de mes vidéos ». Cet intervalle permet-il de confirmer son affirmation ?

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Contrôle d'un lot de connecteurs : approximation et décision

Un atelier d'électronique fabrique des connecteurs USB. Le cahier des charges garantit une proportion de connecteurs défectueux égale à $p = 0{,}1$ . Pour contrôler la production, le service qualité prélève un échantillon de $n = 900$ connecteurs. On note $X$ le nombre de connecteurs défectueux dans l'échantillon ; en supposant le cahier des charges respecté, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(900\,;\,0{,}1)$ .

1. Vérifier que la loi de $X$ peut être approchée par une loi normale, puis préciser les paramètres $\mu$ et $\sigma$ de cette loi normale.
2. En utilisant cette approximation et le repère « un écart-type », donner une valeur approchée de $P(X \leqslant 99)$ .
3. Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de $95\,\%$ de la fréquence de connecteurs défectueux pour un échantillon de taille $900$ .
4. Le service qualité trouve finalement $126$ connecteurs défectueux. Au risque de $5\,\%$ , le cahier des charges semble-t-il respecté ?

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Bonus

Estimer la proportion réelle de défauts par intervalle de confiance

Un nouveau modèle de panneau solaire est fabriqué en très grande série et le taux réel de panneaux défectueux est inconnu. Pour l'estimer, le service qualité teste un échantillon de $n = 400$ panneaux et en trouve $34$ défectueux.

1. Calculer la fréquence observée $f$ de panneaux défectueux dans l'échantillon.
2. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion réelle de défauts au niveau de confiance de $95\,\%$ .
3. Le service commercial annonce « moins de $5\,\%$ de défauts ». Cet intervalle permet-il de confirmer cette annonce ?
4. Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle ne dépasse pas $0{,}04$  ?

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Questions fréquentes

Quand peut-on remplacer une loi binomiale par une loi normale ?

Quand le nombre de répétitions n est assez grand et que la probabilité de succès p n'est ni trop proche de 0 ni trop proche de 1. En pratique, on considère que l'approximation est valable quand n est au moins égal à 30, que n multiplié par p est au moins 5 et que n multiplié par un moins p est au moins 5. On remplace alors la loi binomiale par la loi normale de même moyenne n p et de même écart-type racine de n p un moins p.

À quoi sert un intervalle de fluctuation ?

Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 pour cent donne l'intervalle dans lequel la fréquence observée sur un échantillon a 95 chances sur 100 de tomber, si la proportion annoncée est vraie. On l'utilise pour prendre une décision : si la fréquence mesurée sur l'échantillon appartient à l'intervalle, on accepte l'hypothèse ; sinon, on la rejette au risque de 5 pour cent.

Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?

Dans un intervalle de fluctuation, la proportion p est connue et on encadre la fréquence d'un futur échantillon : il sert à décider. Dans un intervalle de confiance, la proportion p est inconnue et on l'estime à partir de la fréquence observée sur un échantillon : il sert à estimer. L'un part de p pour prévoir la fréquence, l'autre part de la fréquence pour encadrer p.