Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STI2D Approfondissement gratuit

Estimer la proportion réelle de défauts par intervalle de confiance

Énoncé

Un nouveau modèle de panneau solaire est fabriqué en très grande série et le taux réel de panneaux défectueux est inconnu. Pour l'estimer, le service qualité teste un échantillon de n=400n = 400 panneaux et en trouve 3434 défectueux.

1. Calculer la fréquence observée ff de panneaux défectueux dans l'échantillon.
2. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion réelle de défauts au niveau de confiance de 95 %95\,\%.
3. Le service commercial annonce « moins de 5 %5\,\% de défauts ». Cet intervalle permet-il de confirmer cette annonce ?
4. Quelle devrait être la taille de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle ne dépasse pas 0,040{,}04 ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La proportion pp est inconnue : l'intervalle de confiance se centre donc sur la fréquence observée f=34400f = \dfrac{34}{400}, pas sur une valeur annoncée.
  2. Au niveau de 95 %95\,\%, le rayon de l'intervalle est simplement 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}, et son amplitude totale vaut 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}}.
  3. Pour la dernière question, résous l'inéquation 2n⩽0,04\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}04 : isole n\sqrt{n}, puis élève au carré pour obtenir nn.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la fréquence observée

    La fréquence de panneaux défectueux dans l'échantillon est le quotient du nombre de défectueux par la taille de l'échantillon :
    f=34400=0,085.f = \dfrac{34}{400} = 0{,}085.
    On vérifie au passage les conditions d'usage : n=400⩾30n = 400 \geqslant 30, n f=34⩾5n\,f = 34 \geqslant 5 et n (1−f)=366⩾5n\,(1 - f) = 366 \geqslant 5. L'intervalle de confiance est utilisable.

  2. 2. Calculer le rayon de l'intervalle

    Au niveau de confiance de 95 %95\,\%, l'intervalle de confiance est centré sur la fréquence observée ff, avec un rayon 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} :
    1n=1400=120=0,05.\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05.

  3. 3. Écrire l'intervalle de confiance

    On encadre la proportion inconnue pp par f−1nf - \dfrac{1}{\sqrt{n}} et f+1nf + \dfrac{1}{\sqrt{n}} :
    IC=[ 0,085−0,05 ; 0,085+0,05 ]=[ 0,035 ; 0,135 ].I_C = \left[\, 0{,}085 - 0{,}05 \ ;\ 0{,}085 + 0{,}05 \,\right] = \left[\, 0{,}035 \ ;\ 0{,}135 \,\right].
    Avec un niveau de confiance de 95 %95\,\%, la proportion réelle de panneaux défectueux est comprise entre 3,5 %3{,}5\,\% et 13,5 %13{,}5\,\%.

  4. 4. Confronter l'intervalle à l'annonce commerciale

    L'annonce « moins de 5 %5\,\% de défauts » correspond à p<0,05p < 0{,}05. Or l'intervalle [ 0,035 ; 0,135 ][\,0{,}035\,;\,0{,}135\,] contient des valeurs supérieures à 0,050{,}05 (en fait, la majeure partie de l'intervalle dépasse 0,050{,}05). On ne peut donc pas affirmer que la proportion réelle est inférieure à 5 %5\,\% : l'intervalle est compatible avec un taux de défauts bien plus élevé. L'annonce n'est pas confirmée par cet échantillon.

  5. 5. Déterminer la taille d'échantillon pour une amplitude donnée

    L'amplitude de l'intervalle de confiance vaut 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}}. On veut qu'elle soit au plus égale à 0,040{,}04 :
    2n⩽0,04  ⟺  n⩾20,04  ⟺  n⩾50  ⟺  n⩾502=2500.\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}04 \iff \sqrt{n} \geqslant \dfrac{2}{0{,}04} \iff \sqrt{n} \geqslant 50 \iff n \geqslant 50^2 = 2500.
    Il faudrait donc tester au moins 25002500 panneaux pour réduire l'amplitude de l'intervalle à 0,040{,}04. Cela illustre que pour doubler la précision (amplitude divisée par 22), il faut quadrupler la taille de l'échantillon.
    On estime, au niveau de confiance de 95 %95\,\%, que la proportion réelle de défauts est dans [ 0,035 ; 0,135 ][\,0{,}035\,;\,0{,}135\,] : l'annonce des 5 %5\,\% n'est pas confirmée, et il faudrait n⩾2500n \geqslant 2500 panneaux pour ramener l'amplitude à 0,040{,}04.
Réponse finale
f=34400=0,085;IC=[ 0,035 ; 0,135 ];annonce des 5 % non confirmeˊe;n⩾2500f = \frac{34}{400} = 0{,}085 \quad ; \quad I_C = \left[\, 0{,}035 \ ;\ 0{,}135 \,\right] \quad ; \quad \text{annonce des } 5\,\% \text{ non confirmée} \quad ; \quad n \geqslant 2500
Signaler une erreur

Ta progression

Chapitre

Loi normale et échantillonnage ← Retour au cours

À suivre