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Rêves Vision
Terminale STI2D

Estimer la part de spectateurs qui terminent une vidéo

Énoncé

Une créatrice de vidéos veut estimer la proportion réelle, inconnue, de spectateurs qui regardent ses vidéos jusqu'au bout. Pour cela, elle examine un échantillon de n=625n = 625 spectateurs tirés au hasard parmi tous ceux qui ont lancé sa dernière vidéo : 425425 d'entre eux l'ont regardée jusqu'au bout.

1. Calculer la fréquence observée ff de spectateurs qui terminent la vidéo.
2. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion réelle au niveau de confiance de 95 %95\,\%. Donner les bornes sous forme décimale.
3. La créatrice affirme : « plus de 70 %70\,\% de mes spectateurs vont au bout de mes vidéos ». Cet intervalle permet-il de confirmer son affirmation ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la fréquence observée

    La fréquence de spectateurs qui terminent la vidéo est le quotient de leur nombre par la taille de l'échantillon :
    f=425625=0,68.f = \dfrac{425}{625} = 0{,}68.
    On vérifie les conditions d'usage : n=625⩾30n = 625 \geqslant 30, n f=425⩾5n\,f = 425 \geqslant 5 et n (1−f)=200⩾5n\,(1 - f) = 200 \geqslant 5. L'intervalle de confiance est utilisable.

  2. 2. Calculer le rayon de l'intervalle

    Au niveau de confiance de 95 %95\,\%, l'intervalle de confiance est centré sur la fréquence observée ff, avec un rayon 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} :
    1n=1625=125=0,04.\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{\sqrt{625}} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04.

  3. 3. Écrire l'intervalle de confiance

    On encadre la proportion inconnue pp par f−1nf - \dfrac{1}{\sqrt{n}} et f+1nf + \dfrac{1}{\sqrt{n}} :
    IC=[ 0,68−0,04 ; 0,68+0,04 ]=[ 0,64 ; 0,72 ].I_C = \left[\, 0{,}68 - 0{,}04 \ ;\ 0{,}68 + 0{,}04 \,\right] = \left[\, 0{,}64 \ ;\ 0{,}72 \,\right].
    Avec un niveau de confiance de 95 %95\,\%, la proportion réelle de spectateurs qui terminent la vidéo est comprise entre 64 %64\,\% et 72 %72\,\%.

  4. 4. Confronter l'intervalle à l'affirmation

    L'affirmation « plus de 70 %70\,\% » correspond à p>0,70p > 0{,}70. Or l'intervalle [ 0,64 ; 0,72 ][\,0{,}64\,;\,0{,}72\,] contient des valeurs inférieures à 0,700{,}70 (par exemple 0,650{,}65) : on ne peut donc pas garantir que la proportion réelle dépasse 0,700{,}70. L'affirmation de la créatrice n'est pas confirmée par cet échantillon, même si la valeur 0,700{,}70 reste compatible avec les données.
    On estime, au niveau de confiance de 95 %95\,\%, que la proportion réelle est dans [ 0,64 ; 0,72 ][\,0{,}64\,;\,0{,}72\,] : l'affirmation des « plus de 70 %70\,\% » n'est pas confirmée.
Réponse finale
f=425625=0,68;IC=[ 0,64 ; 0,72 ];affirmation des 70 % non confirmeˊef = \dfrac{425}{625} = 0{,}68 \quad ; \quad I_C = \left[\, 0{,}64 \ ;\ 0{,}72 \,\right] \quad ; \quad \text{affirmation des } 70\,\% \text{ non confirmée}
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