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Rêves Vision
Terminale STI2D

Décider si un lot respecte la norme de qualité

Énoncé

Un fournisseur garantit que ses résistances respectent la norme avec au plus 5 %5\,\% de pièces défectueuses, soit une proportion annoncée p=0,05p = 0{,}05. À la réception d'un lot, le service qualité contrôle un échantillon de n=250n = 250 résistances et en trouve 2222 défectueuses.

1. En supposant l'annonce du fournisseur exacte, déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\,\% de la fréquence de pièces défectueuses sur un échantillon de taille 250250. Arrondir les bornes au millième.
2. La fréquence observée appartient-elle à cet intervalle ? Que peut-on décider sur le lot, au risque de 5 %5\,\% ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. On suppose que l'annonce p=0,05p = 0{,}05 est vraie : l'intervalle de fluctuation se centre donc sur p=0,05p = 0{,}05, pas sur la fréquence observée.
  2. Le demi-rayon vaut 1,96 p (1−p)n1{,}96\,\sqrt{\dfrac{p\,(1 - p)}{n}} avec p=0,05p = 0{,}05 et n=250n = 250. Calcule-le puis ajoute et retranche-le à 0,050{,}05.
  3. Compare ensuite f=22250f = \dfrac{22}{250} aux bornes : si ff sort de l'intervalle, on rejette l'hypothèse au risque de 5 %5\,\%.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Vérifier les conditions et poser l'hypothèse

    On suppose l'hypothèse du fournisseur vraie : la proportion de défauts est p=0,05p = 0{,}05. On vérifie d'abord que l'intervalle de fluctuation s'applique :
    n=250⩾30,n p=250×0,05=12,5⩾5,n (1−p)=250×0,95=237,5⩾5.n = 250 \geqslant 30, \qquad n\,p = 250 \times 0{,}05 = 12{,}5 \geqslant 5, \qquad n\,(1 - p) = 250 \times 0{,}95 = 237{,}5 \geqslant 5.
    Les conditions sont remplies.

  2. 2. Calculer le demi-rayon de l'intervalle

    Le demi-rayon de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %95\,\% vaut 1,96 p (1−p)n1{,}96\,\sqrt{\dfrac{p\,(1 - p)}{n}} :
    1,96×0,05×0,95250=1,96×0,0475250=1,96×0,00019≈1,96×0,01378≈0,027.1{,}96 \times \sqrt{\dfrac{0{,}05 \times 0{,}95}{250}} = 1{,}96 \times \sqrt{\dfrac{0{,}0475}{250}} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}00019} \approx 1{,}96 \times 0{,}01378 \approx 0{,}027.

  3. 3. Écrire l'intervalle de fluctuation

    On centre l'intervalle sur la proportion annoncée p=0,05p = 0{,}05 :
    I=[ 0,05−0,027 ; 0,05+0,027 ]≈[ 0,023 ; 0,077 ].I = \left[\, 0{,}05 - 0{,}027 \ ;\ 0{,}05 + 0{,}027 \,\right] \approx \left[\, 0{,}023 \ ;\ 0{,}077 \,\right].
    Si l'annonce du fournisseur est exacte, la fréquence de défauts d'un échantillon de 250250 pièces a environ 9595 chances sur 100100 de tomber dans cet intervalle.

  4. 4. Comparer la fréquence observée et décider

    La fréquence observée sur l'échantillon est :
    f=22250=0,088.f = \dfrac{22}{250} = 0{,}088.
    Or 0,088>0,0770{,}088 > 0{,}077, donc f∉If \notin I : la fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. Un tel écart ne s'explique pas par le seul hasard de l'échantillonnage.
    Au risque de 5 %5\,\%, on rejette l'annonce du fournisseur : ce lot ne semble pas respecter la norme des 5 %5\,\% de défauts, il peut être refusé.
Réponse finale
I≈[ 0,023 ; 0,077 ];f=22250=0,088∉I⟹lot rejeteˊ au risque de 5 %I \approx \left[\, 0{,}023 \ ;\ 0{,}077 \,\right] \quad ; \quad f = \frac{22}{250} = 0{,}088 \notin I \quad \Longrightarrow \quad \text{lot rejeté au risque de } 5\,\%
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