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Rêves Vision
Terminale STI2D

Mettre un signal sous forme exponentielle

Énoncé

En traitement du signal, une tension sinusoïdale est représentée par le nombre complexe u‾=1+i\underline{u} = 1 + i (en volts). Pour exploiter ce signal, on veut l'écrire sous forme exponentielle u‾=r eiθ\underline{u} = r\,e^{i\theta}, où rr est l'amplitude et θ\theta la phase. Déterminer rr et θ\theta, puis écrire u‾\underline{u} sous forme exponentielle.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'amplitude du signal, c'est le module r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, et la phase, c'est l'argument θ\theta.
  2. Calcule d'abord r=12+12r = \sqrt{1^2 + 1^2}, puis cos⁡θ=1r\cos\theta = \dfrac{1}{r} et sin⁡θ=1r\sin\theta = \dfrac{1}{r}.
  3. Un angle dont le cosinus et le sinus valent tous deux 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} est un angle remarquable bien connu.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer le module (l'amplitude)

    Ici a=1a = 1 et b=1b = 1. Le module donne l'amplitude du signal : r=∣u‾∣=a2+b2=12+12=2.r = |\underline{u}| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Donc r=2r = \sqrt{2} V.

  2. 2. Écrire le cosinus et le sinus de la phase

    La phase θ\theta vérifie cos⁡θ=ar\cos\theta = \dfrac{a}{r} et sin⁡θ=br.\sin\theta = \dfrac{b}{r}. On remplace : cos⁡θ=12=22\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ=12=22.\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  3. 3. Reconnaître la phase

    Le cosinus et le sinus valent tous les deux 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} et sont positifs (le point est dans le quart en haut à droite). La valeur remarquable qui convient est θ=π4.\theta = \dfrac{\pi}{4}.

  4. 4. Écrire la forme exponentielle et conclure

    On rassemble le module et l'argument dans u‾=r eiθ\underline{u} = r\,e^{i\theta} : u‾=2 eiπ4.\underline{u} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}. Le signal a pour amplitude 2\sqrt{2} V et pour phase π4\dfrac{\pi}{4} rad, soit u‾=2 eiπ4\underline{u} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}.
Réponse finale
u‾=2 eiπ4\underline{u} = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}
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