Terminale STI2D · Chapitre 8

Nombres complexes

Cours de Terminale STI2D sur les nombres complexes : forme algebrique, module, argument, forme exponentielle, produit et quotient. Applications aux signaux et aux impedances. Exercices corriges.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En électricité, comment décrire d’un seul coup l’amplitude et le déphasage d’un signal sinusoïdal, ou l’opposition qu’un circuit oppose au passage du courant alternatif ? La réponse tient dans un nouvel objet : le nombre complexe. Un complexe regroupe deux informations (une partie réelle et une partie imaginaire) en un seul nombre, sur lequel on peut calculer. C’est l’outil de base pour les signaux et les impédances.

Ce que tu sauras faire

Je sais reconnaître la forme algébrique $z = a + ib$ et en donner la partie réelle et la partie imaginaire.
Je sais calculer une somme, un produit et un conjugué de nombres complexes.
Je sais placer un complexe dans le plan et calculer son module et son argument.
Je sais passer de la forme algébrique à la forme exponentielle $z = r\,e^{i\theta}$ et l’inverse.
Je sais utiliser un complexe pour décrire un signal (amplitude, phase) ou une impédance (impédance, déphasage).

À quoi ça sert vraiment ?

Quand tu branches une bobine ou un condensateur sur du courant alternatif, la tension et le courant ne sont plus « en phase » : il y a un décalage. Décrire ce décalage avec des fonctions sinus, c’est lourd. Avec un complexe, c’est immédiat : le module te donne l’amplitude (ou l’impédance en ohms) et l’argument te donne le déphasage en radians. Toute l’électronique du son, de la radio et des capteurs repose là-dessus. Même un égaliseur audio ou un filtre dans ton appli de musique, au fond, c’est du calcul sur des complexes.

1. Forme algébrique

Nombre complexe, forme algébrique

On introduit un nombre imaginaire noté $i$ qui vérifie : $i^2 = -1.$

Un nombre complexe $z$ s’écrit alors, de façon unique, sous sa forme algébrique : $z = a + ib,$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

$a$ est la partie réelle de $z$ , notée $\operatorname{Re}(z)$ ;
$b$ est la partie imaginaire de $z$ , notée $\operatorname{Im}(z)$ (attention : $b$ est un réel, pas $ib$ ).

L’ensemble des nombres complexes se note $\mathbb{C}$ .

Lire une forme algébrique

Pour $z = 3 + 2i$ : $\operatorname{Re}(z) = 3$ et $\operatorname{Im}(z) = 2$ .

Pour $z = -5i$ : $\operatorname{Re}(z) = 0$ et $\operatorname{Im}(z) = -5$ (on dit que $z$ est un imaginaire pur).

Pour $z = 7$ : $\operatorname{Re}(z) = 7$ et $\operatorname{Im}(z) = 0$ ( $z$ est un réel, les réels sont des complexes particuliers).

Somme et produit (forme algébrique)

On calcule avec les complexes comme avec une expression algébrique en $i$ , en remplaçant à la fin $i^2$ par $-1$ .

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ : $z + z' = (a + a') + i\,(b + b'),$ $z \times z' = (aa' - bb') + i\,(ab' + a'b).$

En pratique, il vaut mieux retrouver le produit en développant plutôt que d’apprendre la formule par cœur.

Un produit développé pas à pas

Calculons $(3 + 2i)(1 - 4i)$ : $(3 + 2i)(1 - 4i) = 3 \times 1 + 3 \times (-4i) + 2i \times 1 + 2i \times (-4i).$ $= 3 - 12i + 2i - 8i^2.$ Or $i^2 = -1$ , donc $-8i^2 = +8$ : $= (3 + 8) + (-12 + 2)i = 11 - 10i.$

2. Conjugué

Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué du complexe $z = a + ib$ est le complexe noté $\overline{z}$ obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire : $\overline{z} = a - ib.$

Géométriquement, $\overline{z}$ est le symétrique de $z$ par rapport à l’axe des réels.

La propriété qui sert tout le temps

Le produit d’un complexe par son conjugué est un nombre réel positif : $z \times \overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2.$

C’est ce résultat qui permet de rendre réel un dénominateur : pour calculer un quotient sous forme algébrique, on multiplie le haut et le bas par le conjugué du dénominateur.

Quotient : on multiplie par le conjugué

Mettons $\dfrac{2 + i}{3 + i}$ sous forme algébrique. Le conjugué du dénominateur est $3 - i$ : $\frac{2 + i}{3 + i} = \frac{(2 + i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{6 - 2i + 3i - i^2}{3^2 + 1^2} = \frac{6 + 1 + i}{10} = \frac{7 + i}{10}.$ Soit $\dfrac{7}{10} + \dfrac{1}{10}\,i$ .

3. Module et argument

Affixe, module et argument

Dans un repère orthonormé, on associe au complexe $z = a + ib$ le point $M$ de coordonnées $(a\,;\,b)$ . On dit que $z$ est l’affixe de $M$ .

Le module de $z$ est la distance $OM$ : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$
L’argument de $z$ (pour $z \neq 0$ ) est une mesure, en radians, de l’angle entre l’axe des réels et la demi-droite $[OM)$ . On le note $\arg(z) = \theta$ , et il vérifie : $\cos\theta = \frac{a}{|z|} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta = \frac{b}{|z|}.$

Calculer le module et l'argument de $z = a + ib$

Calculer le module $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Calculer $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ .
Reconnaître l’angle $\theta$ grâce aux valeurs remarquables, en s’aidant des signes de $a$ et $b$ pour savoir dans quel quart de plan on se trouve.

Valeurs utiles : $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ .

Module et argument de $z = -1 + i\sqrt{3}$

Module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.$

Argument : $\cos\theta = \dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ Le cosinus est négatif et le sinus positif : le point est dans le quart en haut à gauche. L’angle qui convient est $\theta = \dfrac{2\pi}{3}.$

Le piège de l'argument

On ne trouve pas l’argument avec une seule ligne de calculatrice.

FAUX : « $\arg(-1 + i\sqrt{3}) = \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\dfrac{\pi}{3}$ , donc l’argument vaut $-\dfrac{\pi}{3}$ . »
VRAI : la touche $\arctan$ renvoie toujours un angle entre $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ , donc côté droit du plan. Ici le point $(-1\,;\,\sqrt{3})$ est à gauche : il faut tenir compte du signe de la partie réelle. Le bon argument est $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ (et non $-\dfrac{\pi}{3}$ ). Vérifie toujours avec les signes de $a$ et de $b$ .

4. Forme trigonométrique et forme exponentielle

Forme trigonométrique

Tout complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d’argument $\theta$ s’écrit : $z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta).$ On retrouve la forme algébrique en posant $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$ .

Forme exponentielle

On note, pour tout réel $\theta$ : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$

Tout complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit alors sous forme exponentielle : $z = r\,e^{i\theta}, \qquad \text{avec } r = |z| > 0 \text{ et } \theta = \arg(z).$

C’est la forme la plus pratique pour multiplier, diviser et décrire des signaux.

Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle

Pour écrire $z = a + ib$ sous la forme $r\,e^{i\theta}$ :

Calculer le module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Déterminer l’argument $\theta$ avec $\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ (en surveillant les signes).
Écrire $z = r\,e^{i\theta}$ .

Forme exponentielle de $z = 1 + i$

Module : $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Argument : $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , tous deux positifs, donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}.$

Conclusion : $z = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}}.$

5. Produit et quotient en forme exponentielle

La règle clé : on multiplie les modules, on additionne les arguments

Pour $z = r\,e^{i\theta}$ et $z' = r'\,e^{i\theta'}$ (avec $r > 0$ et $r' > 0$ ) : $z \times z' = r\,r'\;e^{i(\theta + \theta')}, \qquad \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\;e^{i(\theta - \theta')}.$

Autrement dit :

pour un produit : les modules se multiplient, les arguments s’additionnent ;
pour un quotient : les modules se divisent, les arguments se soustraient.

Un produit immédiat

Soit $z = 2\,e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $z' = 3\,e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Alors : $z \times z' = (2 \times 3)\;e^{i\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right)} = 6\,e^{i\frac{\pi}{2}}.$ Comme $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = i$ , on a $z \times z' = 6i.$

Quelle forme choisir ?

Pour additionner ou soustraire : la forme algébrique $a + ib$ (on ajoute les parties réelles entre elles, les imaginaires entre elles).
Pour multiplier, diviser ou élever à une puissance : la forme exponentielle $r\,e^{i\theta}$ (modules et arguments).

Choisir la bonne forme avant de te lancer, c’est moitié du travail de gagné.

6. Application aux signaux et aux impédances

Signal et impédance en complexe

Signal sinusoïdal. Un signal $s(t) = S\cos(\omega t + \varphi)$ est représenté par le complexe $\underline{s} = S\,e^{i\varphi}$ . Son module $S$ est l’amplitude et son argument $\varphi$ est la phase à l’origine. Pour additionner deux signaux de même fréquence, on additionne leurs complexes.

Impédance. Pour un dipôle en courant alternatif, l’impédance complexe $\underline{Z}$ relie la tension au courant. Son module $|\underline{Z}|$ est l’impédance mesurée en ohms ( $\Omega$ ), et son argument $\arg(\underline{Z})$ est le déphasage entre la tension et le courant.

Impédances usuelles (régime sinusoïdal)

Pour une pulsation $\omega$ (en rad/s) :

résistance $R$ : $\underline{Z_R} = R$ (réel, déphasage nul) ;
bobine d’inductance $L$ : $\underline{Z_L} = i\,L\omega$ (déphasage $+\dfrac{\pi}{2}$ ) ;
condensateur de capacité $C$ : $\underline{Z_C} = \dfrac{1}{i\,C\omega}$ (déphasage $-\dfrac{\pi}{2}$ ).

Comme en continu, des dipôles en série ont une impédance complexe égale à la somme de leurs impédances.

Impédance d'un circuit R-L série

Une résistance $R = 30\ \Omega$ est en série avec une bobine telle que $L\omega = 40\ \Omega$ . L’impédance complexe est : $\underline{Z} = R + i\,L\omega = 30 + 40i.$

Impédance (module) : $|\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega.$

Déphasage (argument) : $\cos\theta = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$ et $\sin\theta = \dfrac{40}{50} = 0{,}8$ , donc $\theta \approx 0{,}93$ rad, soit environ $53°$ : la tension est en avance sur le courant (comportement inductif).

Ne confonds pas module et partie réelle

FAUX : « L’impédance d’un circuit $\underline{Z} = 30 + 40i$ vaut $30\ \Omega$ parce que $30$ est la partie réelle. »
VRAI : l’impédance mesurée en ohms est le module $|\underline{Z}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\ \Omega$ , pas la partie réelle. La partie réelle ( $30\ \Omega$ ) ne représente ici que la résistance ; la partie imaginaire ( $40\ \Omega$ ) est la réactance. Pour l’opposition totale au courant, c’est toujours le module.

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Module et argument d'un nombre complexe

Dans le plan, on considère le point $M$ d'affixe $z = -1 + i\sqrt{3}$ . Calculer le module $|z|$ , puis déterminer un argument $\theta = \arg(z)$ en utilisant les signes de la partie réelle et de la partie imaginaire.

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Produit de deux signaux en forme exponentielle

Dans une chaîne d'amplification audio, un signal d'entrée est représenté par le complexe $\underline{e} = 3\,e^{i\frac{\pi}{6}}$ (en volts) et le gain d'un étage par le complexe $\underline{G} = 2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ . Le signal de sortie est le produit $\underline{s} = \underline{G} \times \underline{e}$ . En utilisant la règle du produit en forme exponentielle, déterminer le module et l'argument de $\underline{s}$ , puis l'écrire sous forme exponentielle.

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Somme et produit de deux nombres complexes

On donne les deux nombres complexes $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$ . Calculer $z_1 + z_2$ , puis $z_1 \times z_2$ , et donner chaque résultat sous forme algébrique.

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Impédance et déphasage d'un circuit

Dans un capteur, une résistance $R = 8\ \Omega$ est branchée en série avec une bobine telle que $L\omega = 6\ \Omega$ à la fréquence de travail. L'impédance complexe du dipôle est $\underline{Z} = R + i\,L\omega$ . Calculer l'impédance du dipôle (le module de $\underline{Z}$ , en ohms), puis le déphasage entre la tension et le courant (l'argument de $\underline{Z}$ , en degrés, arrondi au dixième).

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Mettre un signal sous forme exponentielle

En traitement du signal, une tension sinusoïdale est représentée par le nombre complexe $\underline{u} = 1 + i$ (en volts). Pour exploiter ce signal, on veut l'écrire sous forme exponentielle $\underline{u} = r\,e^{i\theta}$ , où $r$ est l'amplitude et $\theta$ la phase. Déterminer $r$ et $\theta$ , puis écrire $\underline{u}$ sous forme exponentielle.

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Quotient sous forme algébrique avec le conjugué

Dans un filtre audio numérique, le gain est donné par le quotient de deux nombres complexes $\underline{H} = \dfrac{4 + 3i}{2 - i}$ . Pour pouvoir exploiter ce gain, on veut écrire $\underline{H}$ sous forme algébrique $a + ib$ . Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis donner $\underline{H}$ sous forme algébrique.

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Impédance d'un circuit R-L-C série à comportement capacitif

Dans un atelier d'électronique, on étudie un dipôle formé d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur en série. À la pulsation de travail, leurs impédances complexes valent $\underline{Z_R} = 5\,\sqrt{3}\ \Omega$ pour la résistance, $\underline{Z_L} = 9i\ \Omega$ pour la bobine et $\underline{Z_C} = -14i\ \Omega$ pour le condensateur. En série, l'impédance complexe totale est la somme $\underline{Z} = \underline{Z_R} + \underline{Z_L} + \underline{Z_C}$ . Déterminer la forme algébrique de $\underline{Z}$ , puis l'impédance du dipôle (le module, en ohms) et le déphasage entre la tension et le courant (l'argument), donné comme un angle remarquable.

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Bonus

Somme de deux signaux : amplitude et phase résultantes

Deux haut-parleurs émettent, à la même fréquence, deux signaux représentés par les complexes $\underline{s_1} = 4\,e^{i\cdot 0}$ et $\underline{s_2} = 4\,e^{i\frac{\pi}{3}}$ (en volts). Le signal reçu est la somme $\underline{s} = \underline{s_1} + \underline{s_2}$ . Déterminer l'amplitude (le module) et la phase (l'argument) du signal résultant, puis l'écrire sous forme exponentielle.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un nombre complexe sous forme algebrique ?

Un nombre complexe s'ecrit sous la forme z = a + i b, ou a et b sont deux nombres reels et i est un nombre imaginaire qui verifie i au carre egal moins un. Le nombre a est la partie reelle de z, et b est sa partie imaginaire. Par exemple, pour z = 3 + 2 i, la partie reelle vaut 3 et la partie imaginaire vaut 2.

Comment calculer le module et l'argument d'un nombre complexe ?

Le module de z = a + i b est la racine carree de a au carre plus b au carre : c'est la distance de l'origine au point qui represente z. L'argument est l'angle, mesure depuis l'axe des reels, de la demi-droite qui va de l'origine vers ce point. On le trouve a partir du cosinus, qui vaut a divise par le module, et du sinus, qui vaut b divise par le module.

A quoi servent les nombres complexes en STI2D ?

En STI2D, les nombres complexes servent surtout en electricite et en traitement du signal. Un signal sinusoidal est decrit par un complexe dont le module donne l'amplitude et l'argument donne la phase. L'impedance d'un circuit s'ecrit aussi comme un complexe : son module est l'impedance mesuree en ohms et son argument est le dephasage entre la tension et le courant.