Module et argument d'un nombre complexe

On écrit $z = a + ib$ avec $a = -1$ (partie réelle) et $b = \sqrt{3}$ (partie imaginaire). La partie réelle est négative et la partie imaginaire est positive : le point $M$ se situe donc dans le quart de plan en haut à gauche.

Par définition, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$ On remplace : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4}.$ Donc $|z| = 2.$

L'argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}.$ On obtient donc $\cos\theta = \dfrac{-1}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

On cherche un angle dont le cosinus vaut $-\dfrac{1}{2}$ et le sinus $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ La valeur remarquable qui convient, avec un cosinus négatif et un sinus positif (donc dans le quart en haut à gauche, ce qui est cohérent avec les signes de $a$ et $b$), est $\theta = \dfrac{2\pi}{3}.$

Le module et l'argument sont déterminés. Le module vaut $|z| = 2$ et un argument est $\arg(z) = \dfrac{2\pi}{3}$. On peut alors écrire $z = 2\,e^{i\frac{2\pi}{3}}.$