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Terminale STI2D

Somme et produit de deux nombres complexes

Énoncé

On donne les deux nombres complexes z1=3+2iz_1 = 3 + 2i et z2=1−4iz_2 = 1 - 4i. Calculer z1+z2z_1 + z_2, puis z1×z2z_1 \times z_2, et donner chaque résultat sous forme algébrique.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer la somme

    Pour additionner deux complexes, on ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles : z1+z2=(3+1)+(2+(−4))i.z_1 + z_2 = (3 + 1) + (2 + (-4))i. Donc z1+z2=4−2i.z_1 + z_2 = 4 - 2i.

  2. 2. Développer le produit

    On développe z1×z2=(3+2i)(1−4i)z_1 \times z_2 = (3 + 2i)(1 - 4i) comme un produit de deux sommes : z1×z2=3×1+3×(−4i)+2i×1+2i×(−4i).z_1 \times z_2 = 3 \times 1 + 3 \times (-4i) + 2i \times 1 + 2i \times (-4i). On en déduit z1×z2=3−12i+2i−8i2.z_1 \times z_2 = 3 - 12i + 2i - 8i^2.

  3. 3. Remplacer i au carré par moins un

    Comme i2=−1i^2 = -1, on a −8i2=−8×(−1)=+8.-8i^2 = -8 \times (-1) = +8. On regroupe alors la partie réelle et la partie imaginaire : z1×z2=(3+8)+(−12+2)i=11−10i.z_1 \times z_2 = (3 + 8) + (-12 + 2)i = 11 - 10i.

  4. 4. Conclure

    On a obtenu une somme et un produit, chacun sous la forme a+iba + ib attendue. La somme vaut z1+z2=4−2iz_1 + z_2 = 4 - 2i et le produit vaut z1×z2=11−10iz_1 \times z_2 = 11 - 10i.
Réponse finale
z1+z2=4−2iz1×z2=11−10iz_1 + z_2 = 4 - 2i \qquad z_1 \times z_2 = 11 - 10i
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