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Rêves Vision
Terminale STI2D

Produit de deux signaux en forme exponentielle

Énoncé

Dans une chaîne d'amplification audio, un signal d'entrée est représenté par le complexe e=3eiπ6\underline{e} = 3\,e^{i\frac{\pi}{6}} (en volts) et le gain d'un étage par le complexe G=2eiπ4\underline{G} = 2\,e^{i\frac{\pi}{4}}. Le signal de sortie est le produit s=G×e\underline{s} = \underline{G} \times \underline{e}. En utilisant la règle du produit en forme exponentielle, déterminer le module et l'argument de s\underline{s}, puis l'écrire sous forme exponentielle.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé
  1. 1. Rappeler la règle du produit

    Pour un produit de deux complexes écrits en forme exponentielle, les modules se multiplient et les arguments s'additionnent : si G=reiθ\underline{G} = r\,e^{i\theta} et e=reiθ\underline{e} = r'\,e^{i\theta'}, alors G×e=rr  ei(θ+θ).\underline{G} \times \underline{e} = r\,r'\;e^{i(\theta + \theta')}.
  2. 2. Multiplier les modules

    Le module de G\underline{G} est 22 et celui de e\underline{e} est 33. Le module du produit est donc 2×3=6.2 \times 3 = 6.
  3. 3. Additionner les arguments

    L'argument de s\underline{s} est la somme des deux arguments : π4+π6.\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}. On réduit au même dénominateur 1212 : π4=3π12\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{12} et π6=2π12\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{12}, donc 3π12+2π12=5π12.\dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{2\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}.
  4. 4. Conclure

    On rassemble le module et l'argument dans s=reiθ\underline{s} = r\,e^{i\theta}. Le signal de sortie a pour amplitude 66 V et pour phase 5π12\dfrac{5\pi}{12} rad, soit s=6ei5π12\underline{s} = 6\,e^{i\frac{5\pi}{12}}.
Réponse finale
s=6ei5π12\underline{s} = 6\,e^{i\frac{5\pi}{12}}

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