Aller au contenu
Rêves Vision
Terminale STI2D

Impédance et déphasage d'un circuit

Énoncé

Dans un capteur, une résistance R=8 ΩR = 8\ \Omega est branchée en série avec une bobine telle que Lω=6 ΩL\omega = 6\ \Omega à la fréquence de travail. L'impédance complexe du dipôle est Z‾=R+i Lω\underline{Z} = R + i\,L\omega. Calculer l'impédance du dipôle (le module de Z‾\underline{Z}, en ohms), puis le déphasage entre la tension et le courant (l'argument de Z‾\underline{Z}, en degrés, arrondi au dixième).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'impédance en ohms n'est pas la partie réelle : c'est le module ∣Z‾∣=R2+(Lω)2|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}.
  2. Pour le déphasage, calcule cos⁡θ=R∣Z‾∣\cos\theta = \dfrac{R}{|\underline{Z}|} et sin⁡θ=Lω∣Z‾∣\sin\theta = \dfrac{L\omega}{|\underline{Z}|}, puis utilise la calculatrice.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire l'impédance complexe

    On remplace les valeurs dans Z‾=R+i Lω\underline{Z} = R + i\,L\omega : Z‾=8+6i.\underline{Z} = 8 + 6i. La partie réelle (8 Ω8\ \Omega) est la résistance, la partie imaginaire (6 Ω6\ \Omega) est la réactance de la bobine.

  2. 2. Calculer l'impédance (le module)

    L'impédance en ohms est le module de Z‾\underline{Z} : ∣Z‾∣=R2+(Lω)2=82+62.|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2}. On calcule 82+62=64+36=1008^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, donc ∣Z‾∣=100=10 Ω.|\underline{Z}| = \sqrt{100} = 10\ \Omega.

  3. 3. Écrire le cosinus et le sinus du déphasage

    Le déphasage θ=arg⁡(Z‾)\theta = \arg(\underline{Z}) vérifie cos⁡θ=R∣Z‾∣\cos\theta = \dfrac{R}{|\underline{Z}|} et sin⁡θ=Lω∣Z‾∣.\sin\theta = \dfrac{L\omega}{|\underline{Z}|}. On obtient cos⁡θ=810=0,8\cos\theta = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 et sin⁡θ=610=0,6.\sin\theta = \dfrac{6}{10} = 0{,}6. Les deux sont positifs : l'angle est compris entre 00 et π2\dfrac{\pi}{2} (comportement inductif).

  4. 4. Calculer l'angle et conclure

    Comme cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 avec θ\theta entre 00 et 90°90°, la calculatrice donne θ≈36,9°.\theta \approx 36{,}9°. L'impédance du dipôle vaut ∣Z‾∣=10 Ω|\underline{Z}| = 10\ \Omega et le déphasage entre la tension et le courant est d'environ 36,9°36{,}9°, la tension étant en avance sur le courant.
Réponse finale
∣Z‾∣=10 Ωarg⁡(Z‾)≈36,9∘|\underline{Z}| = 10\ \Omega \qquad \arg(\underline{Z}) \approx 36{,}9^\circ
Corrigé PDF soigné · Premium

Ta progression

Chapitre

Nombres complexes ← Retour au cours

À suivre