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Rêves Vision
Terminale STI2D

Impédance d'un circuit R-L-C série à comportement capacitif

Énoncé

Dans un atelier d'électronique, on étudie un dipôle formé d'une résistance, d'une bobine et d'un condensateur en série. À la pulsation de travail, leurs impédances complexes valent ZR‾=5 3 Ω\underline{Z_R} = 5\,\sqrt{3}\ \Omega pour la résistance, ZL‾=9i Ω\underline{Z_L} = 9i\ \Omega pour la bobine et ZC‾=−14i Ω\underline{Z_C} = -14i\ \Omega pour le condensateur. En série, l'impédance complexe totale est la somme Z‾=ZR‾+ZL‾+ZC‾\underline{Z} = \underline{Z_R} + \underline{Z_L} + \underline{Z_C}. Déterminer la forme algébrique de Z‾\underline{Z}, puis l'impédance du dipôle (le module, en ohms) et le déphasage entre la tension et le courant (l'argument), donné comme un angle remarquable.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. En série, les impédances complexes s'additionnent : commence par calculer Z‾=ZR‾+ZL‾+ZC‾\underline{Z} = \underline{Z_R} + \underline{Z_L} + \underline{Z_C} sous la forme a+iba + ib.
  2. L'impédance en ohms est le module ∣Z‾∣=a2+b2|\underline{Z}| = \sqrt{a^2 + b^2}, pas la partie réelle ; pense à simplifier (53)2=75(5\sqrt{3})^2 = 75.
  3. Pour le déphasage, calcule cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta : un cosinus 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} avec un sinus négatif donne un angle remarquable négatif.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Additionner les impédances en série

    Pour des dipôles en série, les impédances complexes s'additionnent. On ajoute les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles : Z‾=53+9i+(−14i)=53+(9−14)i.\underline{Z} = 5\sqrt{3} + 9i + (-14i) = 5\sqrt{3} + (9 - 14)i. Donc Z‾=53−5i.\underline{Z} = 5\sqrt{3} - 5i. La partie imaginaire est négative : le condensateur l'emporte, le dipôle est capacitif.

  2. 2. Calculer l'impédance (le module)

    L'impédance en ohms est le module de Z‾\underline{Z} : ∣Z‾∣=(53)2+(−5)2.|\underline{Z}| = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (-5)^2}. Or (53)2=52×(3)2=25×3=75(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \times (\sqrt{3})^2 = 25 \times 3 = 75 et (−5)2=25(-5)^2 = 25, donc ∣Z‾∣=75+25=100=10 Ω.|\underline{Z}| = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10\ \Omega.

  3. 3. Écrire le cosinus et le sinus du déphasage

    Le déphasage θ=arg⁡(Z‾)\theta = \arg(\underline{Z}) vérifie cos⁡θ=a∣Z‾∣\cos\theta = \dfrac{a}{|\underline{Z}|} et sin⁡θ=b∣Z‾∣\sin\theta = \dfrac{b}{|\underline{Z}|} avec a=53a = 5\sqrt{3} et b=−5.b = -5. On obtient cos⁡θ=5310=32\cos\theta = \dfrac{5\sqrt{3}}{10} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡θ=−510=−12.\sin\theta = \dfrac{-5}{10} = -\dfrac{1}{2}.

  4. 4. Reconnaître l'angle remarquable

    On cherche un angle dont le cosinus vaut 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} (positif) et le sinus −12-\dfrac{1}{2} (négatif) : le point est dans le quart en bas à droite. La valeur remarquable qui convient est θ=−π6.\theta = -\dfrac{\pi}{6}. Le signe négatif est cohérent avec un dipôle capacitif (la tension est en retard sur le courant).

  5. 5. Conclure

    On rassemble les résultats. L'impédance du dipôle vaut ∣Z‾∣=10 Ω|\underline{Z}| = 10\ \Omega et le déphasage entre la tension et le courant est arg⁡(Z‾)=−π6\arg(\underline{Z}) = -\dfrac{\pi}{6}, soit Z‾=53−5i=10 e−iπ6\underline{Z} = 5\sqrt{3} - 5i = 10\,e^{-i\frac{\pi}{6}}.
Réponse finale
Z‾=53−5i=10 e−iπ6∣Z‾∣=10 Ωarg⁡(Z‾)=−π6\underline{Z} = 5\sqrt{3} - 5i = 10\,e^{-i\frac{\pi}{6}} \qquad |\underline{Z}| = 10\ \Omega \qquad \arg(\underline{Z}) = -\dfrac{\pi}{6}
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