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Rêves Vision
Terminale STI2D

Quotient sous forme algébrique avec le conjugué

Énoncé

Dans un filtre audio numérique, le gain est donné par le quotient de deux nombres complexes H‾=4+3i2−i\underline{H} = \dfrac{4 + 3i}{2 - i}. Pour pouvoir exploiter ce gain, on veut écrire H‾\underline{H} sous forme algébrique a+iba + ib. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis donner H‾\underline{H} sous forme algébrique.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Écrire le conjugué du dénominateur

    Le dénominateur est 2−i2 - i. Son conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire, donc le conjugué est 2+i2 + i. On va multiplier le haut et le bas de la fraction par 2+i2 + i, ce qui ne change pas la valeur du quotient.

  2. 2. Développer le dénominateur

    Le produit d'un complexe par son conjugué est un réel : (2−i)(2+i)=22+12=4+1=5.(2 - i)(2 + i) = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5. Le dénominateur devient donc le nombre réel 55, ce qui était le but de l'opération.

  3. 3. Développer le numérateur

    On développe (4+3i)(2+i)=4×2+4×i+3i×2+3i×i.(4 + 3i)(2 + i) = 4 \times 2 + 4 \times i + 3i \times 2 + 3i \times i. On obtient 8+4i+6i+3i2.8 + 4i + 6i + 3i^2. Or i2=−1i^2 = -1, donc 3i2=−33i^2 = -3 : 8+4i+6i−3=(8−3)+(4+6)i=5+10i.8 + 4i + 6i - 3 = (8 - 3) + (4 + 6)i = 5 + 10i.

  4. 4. Conclure

    On rassemble le numérateur et le dénominateur : H‾=5+10i5.\underline{H} = \dfrac{5 + 10i}{5}. On divise chaque terme par 55 : H‾=55+105i=1+2i.\underline{H} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{10}{5}i = 1 + 2i. Le gain du filtre sous forme algébrique vaut H‾=1+2i\underline{H} = 1 + 2i.
Réponse finale
H‾=4+3i2−i=1+2i\underline{H} = \dfrac{4 + 3i}{2 - i} = 1 + 2i
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