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Rêves Vision
Terminale STI2D

Charge d'une batterie modelisee par une exponentielle

Énoncé

Lors de la charge rapide d'une batterie de smartphone, la puissance instantanee fournie est modelisee sur R\mathbb{R} par la fonction ff definie par f(x)=e0,25xf(x) = e^{0{,}25x}, ou xx est le temps en minutes. Determiner une primitive FF de ff sur R\mathbb{R}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reconnaitre la forme exponentielle de a x

    La fonction f(x)=e0,25xf(x) = e^{0{,}25x} est de la forme eaxe^{ax} avec le coefficient a=0,25a = 0{,}25 place devant le xx. On utilise donc la primitive de l'exponentielle : une primitive de eaxe^{ax} est 1a eax\dfrac{1}{a}\,e^{ax}.

  2. 2. Appliquer la formule

    On garde la meme exponentielle et on divise par a=0,25a = 0{,}25 : F(x)=10,25 e0,25x.F(x) = \dfrac{1}{0{,}25}\,e^{0{,}25x}. Or diviser par 0,250{,}25 revient a multiplier par 44, donc 10,25=4\dfrac{1}{0{,}25} = 4 et F(x)=4 e0,25x.F(x) = 4\,e^{0{,}25x}.

  3. 3. Verifier en derivant

    On controle que F′=fF' = f. La derivee de e0,25xe^{0{,}25x} vaut 0,25 e0,25x0{,}25\,e^{0{,}25x}, donc F′(x)=4×0,25 e0,25x=e0,25x=f(x).F'(x) = 4 \times 0{,}25\,e^{0{,}25x} = e^{0{,}25x} = f(x). On retrouve bien ff. Une primitive de ff sur R\mathbb{R} est F(x)=4 e0,25xF(x) = 4\,e^{0{,}25x} (a une constante pres).
Réponse finale
F(x)=4 e0,25x+CF(x) = 4\,e^{0{,}25x} + C
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