Primitive de la fonction inverse

On reconnait la fonction inverse a un coefficient pres : $f(x) = \frac{3}{x} = 3 \times \frac{1}{x}.$ Attention, on ne primitive pas $\frac{1}{x}$ comme une puissance : c'est l'exception dont la primitive est le logarithme.

Sur $]0\,;+\infty[$, une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(x)$. On garde le coefficient $3$ devant : une primitive de $\frac{3}{x}$ est donc $F(x) = 3\,\ln(x).$

On controle que $F' = f$. La derivee de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$, donc $F'(x) = 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} = f(x).$ On retrouve bien $f$. Une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ est $F(x) = 3\,\ln(x)$ (a une constante pres).