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Rêves Vision
Terminale STI2D

Reconnaitre une forme u prime exponentielle de u

Énoncé

Sur un capteur de temperature d'un atelier, la grandeur mesuree est modelisee sur R\mathbb{R} par la fonction ff definie par f(t)=2t et2f(t) = 2t\,e^{t^2}, ou tt est en secondes. Determiner une primitive FF de ff sur R\mathbb{R}.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Quand tu vois un produit avec une exponentielle, demande-toi si le facteur devant est la derivee de l'exposant : c'est la forme u′ euu'\,e^{u}.
  2. Pose u(t)=t2u(t) = t^2, l'exposant de l'exponentielle, puis calcule u′(t)u'(t) et compare-le au facteur 2t2t.
  3. Une primitive de u′ euu'\,e^{u} est simplement eue^{u} : ici F(t)=et2F(t) = e^{t^2}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Reperer l'expression interieure u

    On reconnait un produit d'un facteur par une exponentielle, et on regarde s'il a la forme u′ euu'\,e^{u}. L'exposant de l'exponentielle est t2t^2 : on pose donc u(t)=t2u(t) = t^2. On calcule sa derivee : u′(t)=2t.u'(t) = 2t.

  2. 2. Comparer le facteur devant l'exponentielle a u prime

    Le facteur place devant l'exponentielle est 2t2t, qui est exactement u′(t)u'(t). La fonction s'ecrit donc f(t)=u′(t) eu(t)f(t) = u'(t)\,e^{u(t)}, c'est bien une forme u′ euu'\,e^{u}.

  3. 3. Ecrire la primitive

    Une primitive de u′ euu'\,e^{u} est eue^{u}. Ici, une primitive de ff est donc F(t)=et2.F(t) = e^{t^2}. On ne touche pas a l'exposant : on reconnait la forme et on ecrit directement l'exponentielle de uu.

  4. 4. Verifier en derivant

    On controle que F′=fF' = f. La derivee de eue^{u} est u′ euu'\,e^{u}, donc F′(t)=2t et2=f(t).F'(t) = 2t\,e^{t^2} = f(t). On retrouve bien ff. Une primitive de ff sur R\mathbb{R} est F(t)=et2F(t) = e^{t^2} (a une constante pres).
Réponse finale
F(t)=et2+CF(t) = e^{t^2} + C
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