Terminale STI2D · Chapitre 5

Primitives (compléments)

Cours de Terminale STI2D sur les primitives (compléments) : primitive de l'exponentielle de a x, de l'inverse (logarithme), formes composées et condition initiale. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En Première, tu as appris à primitiver les polynômes et les puissances : on augmente l’exposant de 1, puis on divise. En Terminale STI2D, on complète cette boîte à outils avec deux fonctions incontournables des sciences de l’ingénieur : l’exponentielle (charge et décharge d’un condensateur, refroidissement, atténuation d’un signal) et la fonction inverse, dont la primitive est le logarithme. On apprend aussi à reconnaître des formes composées simples ( $u'\,e^{u}$ et $\frac{u'}{u}$ ). Tout cela prépare le calcul intégral, l’étape suivante.

Ce que tu sauras faire

Je connais la primitive de l’exponentielle $e^{ax}$ et je sais où placer le coefficient $a$ .
Je connais la primitive de la fonction inverse $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ : c’est le logarithme $\ln$ .
Je sais reconnaître les formes composées $u'\,e^{u}$ et $\dfrac{u'}{u}$ et en donner une primitive.
Je sais fixer la constante grâce à une condition initiale, dans un contexte technologique.

A quoi ça sert ?

Quand tu charges la batterie de ton téléphone, le courant ne reste pas constant : il décroît au fil du temps, et cette décroissance suit une exponentielle. Même chose pour un café qui refroidit ou un signal qui s’atténue dans un câble.

En électronique, tu connais souvent la vitesse de variation d’une grandeur (le courant qui charge un condensateur, la tension aux bornes d’une bobine) et tu veux remonter à la grandeur elle-même (la charge, le courant). C’est exactement chercher une primitive - mais cette fois la grandeur mesurée fait intervenir une exponentielle ou un quotient. Ces nouvelles primitives sont l’outil qui te manque pour traiter ces situations.

Rappel de Première : ce qu'on sait déjà primitiver

On garde tout ce qui a été vu en Première. À une constante $C$ près, sur un intervalle où tout est défini :

Fonction $f(x)$	Une primitive $F(x)$
$k$ (constante)	$kx$
$x^n$ (avec $n$ entier, $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$

Et on peut toujours primitiver terme par terme une somme $a\,f + b\,g$ en gardant les coefficients. Les compléments de Terminale ajoutent deux lignes à ce tableau : l’exponentielle et l’inverse.

Primitive de l'exponentielle de a x

Soit $a$ un réel non nul. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{ax}$ admet pour primitive : $F(x) = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C.$

On garde la même exponentielle et on divise par le coefficient $a$ placé devant le $x$ . En particulier, pour $a = 1$ , une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$ lui-même.

Pourquoi on divise par a (et pas l'inverse)

La dérivée de $e^{ax}$ vaut $a\,e^{ax}$ : dériver fait apparaître un facteur $a$ . Pour la primitive, on fait l’opération inverse, donc on doit compenser ce facteur en divisant par $a$ .

Vérifie toujours en dérivant : $\left(\dfrac{1}{a}\,e^{ax}\right)' = \dfrac{1}{a}\times a\,e^{ax} = e^{ax}$ . On retombe bien sur $f$ .

Exemple : une exponentielle décroissante

Cherchons une primitive de $f(x) = e^{-0{,}5x}$ (typique d’une décharge, l’exposant est négatif).

Ici $a = -0{,}5$ . D’après la formule, une primitive est : $F(x) = \frac{1}{-0{,}5}\,e^{-0{,}5x} = -2\,e^{-0{,}5x}.$ Vérification : $F'(x) = -2 \times (-0{,}5)\,e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} = f(x)$ . C’est bien une primitive.

Primitive de l'inverse : le logarithme

Sur l’intervalle $]0\,;+\infty[$ (les réels strictement positifs), la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ admet pour primitive : $F(x) = \ln(x) + C,$ où $\ln$ est la fonction logarithme népérien. Plus généralement, une primitive de $\dfrac{k}{x}$ (avec $k$ constant) est $k\,\ln(x)$ .

C’est la seule puissance de $x$ qui ne se primitive pas en augmentant l’exposant : la « recette des puissances » donnerait une division par $0$ , donc elle ne marche pas pour $\dfrac{1}{x}$ . La bonne réponse est le logarithme.

Le piège du 'plus un exposant' sur 1 sur x

Pour primitiver $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ , on est tenté d’appliquer la recette des puissances « j’augmente l’exposant ». C’est FAUX : cela donnerait $\dfrac{x^{0}}{0}$ , et on ne divise jamais par $0$ . La règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ est d’ailleurs explicitement réservée au cas $n \neq -1$ .

VRAI : la fonction inverse est l’exception. Sur $]0\,;+\infty[$ , une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln(x)$ . À retenir comme un cas à part.

Deux formes composées à reconnaître

Soit $u$ une fonction dérivable. On rencontre très souvent ces deux formes, qui se primitivent « de tête » dès qu’on les reconnaît :

Forme $f$	Une primitive $F$	Condition
$u'\,e^{u}$	$e^{u}$	aucune
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln(u)$	$u > 0$ sur l’intervalle

Dans les deux cas, le numérateur (ou le facteur devant l’exponentielle) est exactement la dérivée $u'$ de l’expression intérieure $u$ . Ces formules généralisent les deux précédentes : avec $u = ax$ , on a $u' = a$ , donc $u'\,e^{u} = a\,e^{ax}$ a pour primitive $e^{ax}$ , et $\dfrac{u'}{u} = \dfrac{a}{ax} = \dfrac{1}{x}$ a pour primitive $\ln(ax)$ . Le plus utile, en pratique, est de savoir les repérer.

Reconnaître et primitiver une forme u prime sur u

On veut primitiver un quotient dont le numérateur ressemble à la dérivée du dénominateur.

Noter $u$ le dénominateur et calculer sa dérivée $u'$ .
Comparer le numérateur à $u'$ : est-ce exactement $u'$ (ou $u'$ à un coefficient près) ?
Vérifier que $u > 0$ sur l’intervalle d’étude (sinon le $\ln$ n’est pas défini).
Conclure : une primitive est $\ln(u)$ , multipliée par le coefficient si besoin.

Exemple : pour $f(t) = \dfrac{2t}{t^2+1}$ , on pose $u = t^2+1$ , donc $u' = 2t$ . Le numérateur est $u'$ , et $u = t^2+1 > 0$ pour tout $t$ . Une primitive est donc $F(t) = \ln(t^2+1)$ . Vérification : $F'(t) = \dfrac{2t}{t^2+1} = f(t)$ .

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Le principe est le même qu’en Première, mais avec les nouvelles primitives. On cherche une seule primitive, celle qui prend une valeur imposée en un point (la condition initiale, souvent en $t = 0$ ).

Écrire la forme générale des primitives : $F(x) = (\text{une primitive}) + C$ .
Remplacer dans la condition initiale (par exemple calculer $F(0)$ , en se souvenant que $e^{0} = 1$ ).
Résoudre l’équation obtenue pour trouver $C$ .
Réécrire $F$ avec la valeur de $C$ : c’est la primitive cherchée.

Exemple : trouver la primitive $F$ de $f(t) = e^{-0{,}5t}$ telle que $F(0) = 0$ .

Forme générale : $F(t) = -2\,e^{-0{,}5t} + C$ .
Condition : $F(0) = -2\,e^{0} + C = -2 + C$ , et on veut $F(0) = 0$ , donc $C = 2$ .
Conclusion : $F(t) = -2\,e^{-0{,}5t} + 2 = 2\big(1 - e^{-0{,}5t}\big)$ .

Préparation : à quoi servent ces primitives juste après

Ces primitives sont l’étape qui précède le calcul intégral. Bientôt, pour calculer une intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ , tu chercheras d’abord une primitive $F$ de $f$ , puis tu calculeras la différence $F(b) - F(a)$ .

Concrètement, l’intégrale mesurera une grandeur cumulée : l’aire sous une courbe, l’énergie reçue, la charge accumulée sur une durée, la distance parcourue. Savoir primitiver l’exponentielle et l’inverse est donc indispensable pour aborder ces calculs dès le prochain chapitre.

Les pièges à éviter

Multiplier par $a$ au lieu de diviser : pour primitiver $e^{3x}$ , écrire $3\,e^{3x}$ est FAUX (ça, c’est la dérivée). VRAI : on divise par le coefficient, $\dfrac{1}{3}\,e^{3x}$ .
Primitiver $\dfrac{1}{x}$ comme une puissance : écrire $\dfrac{x^{0}}{0}$ est FAUX (division par $0$ ). VRAI : c’est l’exception, une primitive est $\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$ .
Voir un $\ln$ partout : la forme $\dfrac{u'}{u}$ exige que le numérateur soit vraiment la dérivée $u'$ du dénominateur. Pour $\dfrac{1}{t^2+1}$ , le numérateur n’est pas $2t$ , donc ce n’est pas $\ln(t^2+1)$ .
Oublier la constante $C$ : tant qu’une condition initiale n’est pas utilisée, la primitive contient un $+\,C$ . C’est la condition (par exemple $F(0) = 0$ ) qui fixe $C$ .
Oublier $e^{0} = 1$ : dans une condition initiale en $t = 0$ , $e^{0}$ vaut $1$ , pas $0$ . C’est l’erreur de calcul la plus fréquente.

Le réflexe qui ne trompe jamais : dériver son résultat

Comme en Première, une primitive se vérifie toujours en la dérivant : si $F'$ redonne $f$ , c’est gagné. Avec l’exponentielle et le logarithme, ce contrôle est encore plus précieux, car c’est lui qui t’évite de confondre « diviser par $a$ » et « multiplier par $a$ ».

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Charge d'une batterie modelisee par une exponentielle

Lors de la charge rapide d'une batterie de smartphone, la puissance instantanee fournie est modelisee sur $\mathbb{R}$ par la fonction $f$ definie par $f(x) = e^{0{,}25x}$ , ou $x$ est le temps en minutes. Determiner une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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Primitive d'une exponentielle decroissante

L'amplitude d'un signal qui s'attenue dans un cable est modelisee par la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-0{,}5x}$ . Determiner une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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Primitive de la fonction inverse

Soit $f$ la fonction definie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{3}{x}$ . Determiner une primitive $F$ de $f$ sur cet intervalle.

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Position a partir d'une vitesse exponentielle

Sur un banc d'essai, un mobile a une vitesse modelisee par $v(t) = 4\,e^{0{,}2t}$ (en m/s), ou $t$ est en secondes. La vitesse est la derivee de la position : $x'(t) = v(t)$ . Le mobile part de l'origine, donc $x(0) = 0$ . Determiner la position $x(t)$ .

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Reconnaitre une forme u prime exponentielle de u

Sur un capteur de temperature d'un atelier, la grandeur mesuree est modelisee sur $\mathbb{R}$ par la fonction $f$ definie par $f(t) = 2t\,e^{t^2}$ , ou $t$ est en secondes. Determiner une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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Reconnaitre une forme u prime sur u (debit relatif)

Le debit relatif d'un procede est modelise sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \frac{2t}{t^2+1}$ , ou $t$ est en heures. Determiner une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

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Bonus

Courant dans une bobine a partir de la tension

Dans un circuit, la tension aux bornes d'une bobine d'inductance $L = 0{,}5$ H est modelisee par $u_L(t) = 6\,e^{-2t}$ (en volts), ou $t$ est en secondes. La relation de la bobine est $u_L(t) = L \times i'(t)$ , ou $i$ est l'intensite du courant (en amperes). A l'instant initial, le courant est nul : $i(0) = 0$ . Determiner l'intensite $i(t)$ , puis sa valeur limite quand $t$ devient tres grand.

Débloquer l'exercice

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Volume d'un reservoir a partir d'un debit combine

Dans un atelier, le debit d'eau entrant dans un reservoir est modelise sur $]0\,;+\infty[$ par $f(t) = 3\,e^{-0{,}5t} + \dfrac{4}{t+1}$ (en litres par minute), ou $t$ est le temps en minutes. Le volume $V$ est une primitive du debit : $V'(t) = f(t)$ . A l'instant initial, le reservoir est vide : $V(0) = 0$ . Determiner le volume $V(t)$ .

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Quelle est la primitive de l'exponentielle de a x ?

Une primitive de la fonction qui à x associe l'exponentielle de a x est la fonction qui à x associe l'exponentielle de a x divisée par a, où a est un nombre réel non nul. Autrement dit, on garde la même exponentielle et on divise par le coefficient a qui se trouve devant le x. Par exemple, une primitive de l'exponentielle de 2 x est un demi multiplié par l'exponentielle de 2 x. On peut toujours vérifier en dérivant : la dérivée de l'exponentielle de a x vaut a multiplié par l'exponentielle de a x.

Quelle est la primitive de la fonction inverse ?

Sur l'intervalle des réels strictement positifs, une primitive de la fonction inverse, c'est-à-dire la fonction qui à x associe un divisé par x, est la fonction logarithme népérien de x, notée ln de x. Cette fonction inverse est la seule puissance que l'on ne primitive pas en augmentant l'exposant : sa primitive est le logarithme. Une primitive de k divisé par x, avec k constant, est donc k multiplié par le logarithme népérien de x.

Comment reconnaître une forme u prime sur u ?

On repère au numérateur la dérivée exacte de ce qui se trouve au dénominateur. Si une fraction s'écrit u prime divisé par u, où u est une fonction qui reste strictement positive, alors une primitive est le logarithme népérien de u. C'est très utile pour les débits relatifs ou les taux de variation : on n'augmente surtout pas l'exposant, on reconnaît la forme et on écrit directement le logarithme.