Primitive d'une exponentielle decroissante

La fonction $f(x) = e^{-0{,}5x}$ est de la forme $e^{ax}$ avec le coefficient $a = -0{,}5$ place devant le $x$. On utilise donc la primitive de l'exponentielle : une primitive de $e^{ax}$ est $\frac{1}{a}\,e^{ax}$.

On garde la meme exponentielle et on divise par $a = -0{,}5$ : $F(x) = \frac{1}{-0{,}5}\,e^{-0{,}5x}.$ Or $\frac{1}{-0{,}5} = -2$, donc $F(x) = -2\,e^{-0{,}5x}.$

On controle que $F' = f$. La derivee de $e^{-0{,}5x}$ vaut $-0{,}5\,e^{-0{,}5x}$, donc $F'(x) = -2 \times (-0{,}5)\,e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x} = f(x).$ On retrouve bien $f$. Une primitive de $f$ est $F(x) = -2\,e^{-0{,}5x}$ (a une constante pres).