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Terminale STI2D Approfondissement gratuit

Courant dans une bobine a partir de la tension

Énoncé

Dans un circuit, la tension aux bornes d'une bobine d'inductance L=0,5L = 0{,}5 H est modelisee par uL(t)=6 e−2tu_L(t) = 6\,e^{-2t} (en volts), ou tt est en secondes. La relation de la bobine est uL(t)=L×i′(t)u_L(t) = L \times i'(t), ou ii est l'intensite du courant (en amperes). A l'instant initial, le courant est nul : i(0)=0i(0) = 0. Determiner l'intensite i(t)i(t), puis sa valeur limite quand tt devient tres grand.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Pars de la relation uL=L×i′u_L = L \times i' : isole i′(t)i'(t) en divisant la tension par L=0,5L = 0{,}5, puis cherche une primitive.
  2. Diviser par 0,50{,}5 revient a multiplier par 22 : tu obtiens i′(t)=12 e−2ti'(t) = 12\,e^{-2t}. Une primitive de e−2te^{-2t} se trouve en divisant par a=−2a = -2.
  3. Avec i(0)=0i(0) = 0 et e0=1e^{0} = 1, l'equation −6+C=0-6 + C = 0 donne C=6C = 6. Pour la limite, rappelle-toi que e−2te^{-2t} tend vers 00 quand tt devient grand.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Isoler la derivee du courant

    La relation de la bobine s'ecrit uL(t)=L×i′(t)u_L(t) = L \times i'(t). On en deduit i′(t)=uL(t)L=6 e−2t0,5.i'(t) = \frac{u_L(t)}{L} = \frac{6\,e^{-2t}}{0{,}5}. Comme diviser par 0,50{,}5 revient a multiplier par 22, on obtient i′(t)=12 e−2t.i'(t) = 12\,e^{-2t}. Le courant ii est donc une primitive de la fonction t↦12 e−2tt \mapsto 12\,e^{-2t}.

  2. 2. Primitiver l'exponentielle

    La fonction 12 e−2t12\,e^{-2t} est de la forme 12 eat12\,e^{at} avec a=−2a = -2. Une primitive de e−2te^{-2t} est 1−2 e−2t\frac{1}{-2}\,e^{-2t}. En gardant le facteur 1212, la forme generale est : i(t)=12×1−2 e−2t+C=−6 e−2t+C.i(t) = 12 \times \frac{1}{-2}\,e^{-2t} + C = -6\,e^{-2t} + C.

  3. 3. Fixer la constante avec la condition initiale

    A l'instant initial, i(0)=0i(0) = 0. On remplace tt par 00, avec e0=1e^{0} = 1 : i(0)=−6 e0+C=−6+C.i(0) = -6\,e^{0} + C = -6 + C. Comme on veut i(0)=0i(0) = 0, on en deduit que −6+C=0-6 + C = 0, donc C=6C = 6. Ainsi i(t)=−6 e−2t+6=6(1−e−2t).i(t) = -6\,e^{-2t} + 6 = 6\big(1 - e^{-2t}\big).

  4. 4. Determiner la valeur limite

    Quand tt devient tres grand, l'exposant −2t-2t tend vers −∞-\infty, donc e−2te^{-2t} tend vers 00. Par consequent i(t)=6(1−e−2t)i(t) = 6\big(1 - e^{-2t}\big) tend vers 6×(1−0)=66 \times (1 - 0) = 6 A. C'est la valeur du courant en regime permanent.

  5. 5. Verifier la coherence

    On controle en derivant : i′(t)=−6×(−2) e−2t=12 e−2ti'(t) = -6 \times (-2)\,e^{-2t} = 12\,e^{-2t}, donc L×i′(t)=0,5×12 e−2t=6 e−2t=uL(t)L \times i'(t) = 0{,}5 \times 12\,e^{-2t} = 6\,e^{-2t} = u_L(t). On retrouve bien la tension imposee, et i(0)=6(1−1)=0i(0) = 6(1-1) = 0. L'intensite est i(t)=6(1−e−2t)i(t) = 6\big(1 - e^{-2t}\big) amperes, et elle tend vers 66 A quand tt devient tres grand.
Réponse finale
i(t)=6(1−e−2t)etlim⁡t→+∞i(t)=6 Ai(t) = 6\big(1 - e^{-2t}\big) \quad \text{et} \quad \lim_{t \to +\infty} i(t) = 6 \ \text{A}
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