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Rêves Vision
Terminale STI2D

Position a partir d'une vitesse exponentielle

Énoncé

Sur un banc d'essai, un mobile a une vitesse modelisee par v(t)=4 e0,2tv(t) = 4\,e^{0{,}2t} (en m/s), ou tt est en secondes. La vitesse est la derivee de la position : x′(t)=v(t)x'(t) = v(t). Le mobile part de l'origine, donc x(0)=0x(0) = 0. Determiner la position x(t)x(t).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La vitesse est la derivee de la position : pour retrouver xx, cherche une primitive de vv.
  2. Pour primitiver e0,2te^{0{,}2t}, on divise par le coefficient : 10,2=5\frac{1}{0{,}2} = 5, donc une primitive de 4 e0,2t4\,e^{0{,}2t} est 20 e0,2t20\,e^{0{,}2t}.
  3. Avec x(0)=0x(0) = 0 et e0=1e^{0} = 1, l'equation 20+C=020 + C = 0 donne C=−20C = -20.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Relier la position a la vitesse

    La vitesse v(t)v(t) est la derivee de la position : x′(t)=v(t)x'(t) = v(t). La position xx est donc une primitive de v(t)=4 e0,2tv(t) = 4\,e^{0{,}2t}. On cherche d'abord la forme generale des primitives.

  2. 2. Primitiver la vitesse exponentielle

    La fonction v(t)=4 e0,2tv(t) = 4\,e^{0{,}2t} est de la forme 4 eat4\,e^{at} avec a=0,2a = 0{,}2. Une primitive de e0,2te^{0{,}2t} est 10,2 e0,2t=5 e0,2t\frac{1}{0{,}2}\,e^{0{,}2t} = 5\,e^{0{,}2t}. En gardant le facteur 44, la forme generale est : x(t)=4×5 e0,2t+C=20 e0,2t+C.x(t) = 4 \times 5\,e^{0{,}2t} + C = 20\,e^{0{,}2t} + C.

  3. 3. Fixer la constante avec la condition initiale

    Le mobile part de l'origine : x(0)=0x(0) = 0. On remplace tt par 00, en se souvenant que e0=1e^{0} = 1 : x(0)=20 e0+C=20+C.x(0) = 20\,e^{0} + C = 20 + C. Comme on veut x(0)=0x(0) = 0, on en deduit que 20+C=020 + C = 0, donc C=−20C = -20.

  4. 4. Conclure et verifier

    La position est donc x(t)=20 e0,2t−20=20(e0,2t−1).x(t) = 20\,e^{0{,}2t} - 20 = 20\big(e^{0{,}2t} - 1\big). Verification en derivant : x′(t)=20×0,2 e0,2t=4 e0,2t=v(t)x'(t) = 20 \times 0{,}2\,e^{0{,}2t} = 4\,e^{0{,}2t} = v(t), et x(0)=20(1−1)=0x(0) = 20(1-1) = 0. Tout est coherent. La position est x(t)=20(e0,2t−1)x(t) = 20\big(e^{0{,}2t} - 1\big) metres.
Réponse finale
x(t)=20 e0,2t−20=20(e0,2t−1)x(t) = 20\,e^{0{,}2t} - 20 = 20\big(e^{0{,}2t} - 1\big)
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