Reconnaitre une forme u prime sur u (debit relatif)

On reconnait un quotient et on regarde s'il a la forme $\frac{u'}{u}$. On pose $u(t) = t^2 + 1$, c'est-a-dire le denominateur. On calcule sa derivee : $u'(t) = 2t.$

Le numerateur de $f$ est $2t$, qui est exactement $u'(t)$. La fonction s'ecrit donc $f(t) = \frac{u'(t)}{u(t)}$, c'est bien une forme $\frac{u'}{u}$. De plus $u(t) = t^2 + 1 > 0$ pour tout reel $t$, donc $\ln(u)$ est defini partout.

Une primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln(u)$. Ici, une primitive de $f$ est donc $F(t) = \ln(t^2 + 1).$ On n'augmente surtout pas l'exposant : on reconnait la forme et on ecrit directement le logarithme.

On controle que $F' = f$. La derivee de $\ln(u)$ est $\frac{u'}{u}$, donc $F'(t) = \frac{2t}{t^2+1} = f(t).$ On retrouve bien $f$. Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F(t) = \ln(t^2 + 1)$ (a une constante pres).