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Rêves Vision
Terminale STI2D

Angle au nœud d'un treillis métallique

Énoncé

Le bureau d'études d'une charpente métallique modélise un nœud du treillis dans un repère orthonormé gradué en mètres. Trois points sont repérés : le nœud A (1 ; 1)A\,(1\,;\,1), d'où partent deux barres allant respectivement vers B (7 ; 1)B\,(7\,;\,1) et vers C (3 ; 4)C\,(3\,;\,4). Déterminer la mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC} formé par les deux barres au nœud AA, arrondie au dixième de degré.
A B C
Nœud A du treillis : barres vers B et vers C (repère gradué en mètres).
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. L'angle au nœud AA est l'angle entre les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}. Calcule d'abord leurs coordonnées : pour AB⃗\vec{AB}, soustrais les coordonnées de AA à celles de BB.
  2. Utilise la formule cos⁡BAC^=AB⃗⋅AC⃗∥AB⃗∥×∥AC⃗∥\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|} : il te faut le produit scalaire (numérateur) et les deux normes (dénominateur).
  3. Tu devrais trouver cos⁡BAC^=213\cos\widehat{BAC} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}. Termine avec la touche cos⁡−1\cos^{-1} de la calculatrice pour obtenir l'angle en degrés.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier ce qu'on cherche

    Au nœud AA se rejoignent deux barres : l'une va vers BB, l'autre vers CC. L'angle de la structure en AA est l'angle BAC^\widehat{BAC} entre les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}. On le trouve par son cosinus : cos⁡BAC^=AB⃗⋅AC⃗∥AB⃗∥×∥AC⃗∥.\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|}.

  2. 2. Calculer les coordonnées des deux vecteurs

    Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent en soustrayant l'origine à l'extrémité. AB⃗ (xB−xA ; yB−yA)=(7−1 ; 1−1)=(6 ; 0).\vec{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A) = (7 - 1\,;\,1 - 1) = (6\,;\,0). AC⃗ (xC−xA ; yC−yA)=(3−1 ; 4−1)=(2 ; 3).\vec{AC}\,(x_C - x_A\,;\,y_C - y_A) = (3 - 1\,;\,4 - 1) = (2\,;\,3).

  3. 3. Calculer le produit scalaire

    Avec l'expression analytique AB⃗⋅AC⃗=x×x′+y×y′\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x \times x' + y \times y' : AB⃗⋅AC⃗=6×2+0×3=12+0=12.\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \times 2 + 0 \times 3 = 12 + 0 = 12.

  4. 4. Calculer les deux normes

    ∥AB⃗∥=62+02=36=6.\|\vec{AB}\| = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6. ∥AC⃗∥=22+32=4+9=13.\|\vec{AC}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

  5. 5. En déduire le cosinus de l'angle

    On reporte dans la formule : cos⁡BAC^=126×13=12613=213.\cos\widehat{BAC} = \dfrac{12}{6 \times \sqrt{13}} = \dfrac{12}{6\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}. On peut rationaliser en multipliant par 1313\dfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} : cos⁡BAC^=21313≈0,555.\cos\widehat{BAC} = \dfrac{2\sqrt{13}}{13} \approx 0{,}555.

  6. 6. Conclure

    À la calculatrice, BAC^=cos⁡−1 ⁣(213)≈56,3°.\widehat{BAC} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 56{,}3°. Le produit scalaire étant positif, l'angle est bien aigu, ce qui est cohérent. L'angle au nœud AA du treillis mesure environ 56,3°56{,}3°.
Réponse finale
cos⁡BAC^=AB⃗⋅AC⃗∥AB⃗∥×∥AC⃗∥=12613=213 ⇒ BAC^≈56,3∘\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|} = \dfrac{12}{6\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \ \Rightarrow \ \widehat{BAC} \approx 56{,}3^{\circ}
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