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Rêves Vision
Terminale STI2D

Produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs u⃗ (6 ; −2)\vec{u}\,(6\,;\,-2) et v⃗ (3 ; 5)\vec{v}\,(3\,;\,5). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis indiquer si l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est aigu, droit ou obtus.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Choisir la bonne formule

    On connaît les coordonnées des deux vecteurs dans un repère orthonormé : on utilise donc l'expression analytique u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y', où u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'). Ici x=6x = 6, y=−2y = -2, x′=3x' = 3 et y′=5y' = 5.

  2. 2. Remplacer les coordonnées

    On multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, puis on additionne : u⃗⋅v⃗=6×3+(−2)×5.\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 3 + (-2) \times 5. Attention au signe : (−2)×5=−10(-2) \times 5 = -10.

  3. 3. Calculer

    u⃗⋅v⃗=18+(−10)=18−10=8.\vec{u} \cdot \vec{v} = 18 + (-10) = 18 - 10 = 8. Le produit scalaire est un nombre (sans flèche), ici égal à 88.

  4. 4. Conclure sur la nature de l'angle

    Le signe du produit scalaire est celui du cosinus de l'angle. Comme u⃗⋅v⃗=8>0\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 > 0, on a cos⁡θ>0\cos\theta > 0, donc l'angle est aigu. Le produit scalaire vaut 88 et l'angle entre les deux vecteurs est aigu.
Réponse finale
u⃗⋅v⃗=6×3+(−2)×5=8  (>0⇒angle aigu)\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 3 + (-2) \times 5 = 8 \ \ (>0 \Rightarrow \text{angle aigu})
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