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Rêves Vision

Terminale STI2D · Chapitre 9

Produit scalaire et géométrie

Cours de Terminale STI2D : produit scalaire, expression analytique et avec cosinus, orthogonalité, angle entre deux vecteurs et norme en contexte technologique. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En Terminale STI2D, le produit scalaire est l’outil qui relie deux directions par un seul nombre. Tu l’as découvert en Première ; on l’approfondit ici pour répondre à des questions concrètes de tes projets : deux efforts sont-ils perpendiculaires ? Quel est le déphasage entre deux signaux représentés par des vecteurs ? Quel travail fournit une force le long d’un déplacement incliné ? Comment orienter un appui orthogonalement à une contrainte ? Une seule notion, et beaucoup de situations industrielles.

Mes objectifs

À la fin de ce chapitre, je sais :

  • calculer un produit scalaire à partir des coordonnées de deux vecteurs ;
  • calculer un produit scalaire à partir des normes et de l’angle ;
  • relier le produit scalaire d’un vecteur par lui-même à sa norme ;
  • montrer que deux vecteurs (deux directions) sont orthogonaux ;
  • calculer l’angle entre deux vecteurs, par exemple un déphasage ;
  • déterminer une direction orthogonale à une contrainte donnée.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu pousses un chariot bien droit devant toi : tout ton effort sert à le faire avancer. Pousse-le maintenant en biais, vers le bas : une partie de ta force est « perdue » contre le sol. Le produit scalaire mesure cette part utile.

En projet, tu t’en sers tout le temps : vérifier que deux haubans sont perpendiculaires, mesurer le déphasage entre la tension et le courant d’un circuit, calculer le travail d’un vérin qui pousse en oblique, ou dimensionner un appui orienté perpendiculairement à une contrainte mécanique. À chaque fois, c’est le même réflexe : transformer deux vecteurs en un nombre qui parle.

Norme d'un vecteur (rappel)

La norme d’un vecteur u⃗\vec{u}, notée ∥u⃗∥\|\vec{u}\|, est sa longueur. Dans un repère orthonormé, si u⃗\vec{u} a pour coordonnées (x ; y)(x\,;\,y), alors : ∥u⃗∥=x2+y2.\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

C’est le théorème de Pythagore appliqué au vecteur. La norme est toujours positive ou nulle et s’exprime dans l’unité de longueur du repère (m, cm…). En physique, la norme d’un vecteur force est son intensité, en newtons (N).

Produit scalaire : les deux expressions

Soit deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. Leur produit scalaire est un nombre réel, noté u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} (avec un point au centre). On dispose de deux expressions qui donnent le même résultat.

  • Avec le cosinus : si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont non nuls et forment un angle θ\theta (entre 0°0° et 180°180°), u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ.\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta.
  • Avec les coordonnées (repère orthonormé) : si u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y'), u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′.\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.

Le résultat peut être positif, négatif ou nul. On choisit l’expression selon les données disponibles.

Signe du produit scalaire

Comme les deux normes sont positives, le signe de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} est celui de cos⁡θ\cos\theta :

  • angle aigu (θ<90°\theta < 90°) : cos⁡θ>0\cos\theta > 0, donc u⃗⋅v⃗>0\vec{u} \cdot \vec{v} > 0 (les vecteurs « tirent dans le même sens ») ;
  • angle droit (θ=90°\theta = 90°) : cos⁡θ=0\cos\theta = 0, donc u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 ;
  • angle obtus (θ>90°\theta > 90°) : cos⁡θ<0\cos\theta < 0, donc u⃗⋅v⃗<0\vec{u} \cdot \vec{v} < 0.

Lire le signe permet déjà de deviner la nature de l’angle avant tout calcul fin.

Lien entre produit scalaire et norme

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même redonne le carré de sa norme : u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥×∥u⃗∥×cos⁡0°=∥u⃗∥2.\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos 0° = \|\vec{u}\|^2.

Avec les coordonnées u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y), on retrouve bien u⃗⋅u⃗=x×x+y×y=x2+y2=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = x \times x + y \times y = x^2 + y^2 = \|\vec{u}\|^2.

On note u⃗⋅u⃗=u⃗ 2\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^{\,2} : c’est le carré scalaire. Il est toujours positif ou nul.

Calculer un produit scalaire avec les coordonnées

Soit u⃗ (3 ; −2)\vec{u}\,(3\,;\,-2) et v⃗ (5 ; 4)\vec{v}\,(5\,;\,4) dans un repère orthonormé.

u⃗⋅v⃗=3×5+(−2)×4=15−8=7.\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 5 + (-2) \times 4 = 15 - 8 = 7.

Le produit scalaire vaut 77. Il est positif : l’angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est donc aigu.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux (c’est-à-dire perpendiculaires lorsqu’ils sont non nuls) exactement quand leur produit scalaire est nul : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

C’est logique : si l’angle vaut 90°90°, alors cos⁡90°=0\cos 90° = 0, donc le produit scalaire est nul. C’est le test le plus rapide pour vérifier une perpendicularité (deux barres, deux câbles, deux directions d’efforts).

Vérifier que deux directions sont orthogonales

On connaît les coordonnées de u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x\,;\,y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x'\,;\,y') dans un repère orthonormé.

  1. Calculer le produit scalaire : u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.
  2. Comparer le résultat à 00 :
    • s’il vaut 00, les directions sont orthogonales (perpendiculaires) ;
    • sinon, elles ne sont pas orthogonales.

Exemple : pour u⃗ (4 ; 3)\vec{u}\,(4\,;\,3) et v⃗ (6 ; −8)\vec{v}\,(6\,;\,-8), on a u⃗⋅v⃗=4×6+3×(−8)=24−24=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 6 + 3 \times (-8) = 24 - 24 = 0, donc u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux.

Calculer l'angle entre deux vecteurs

On veut l’angle θ\theta entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, à partir de leurs coordonnées. En STI2D, c’est ainsi qu’on mesure par exemple un déphasage entre deux signaux représentés par des vecteurs.

  1. Calculer le produit scalaire avec les coordonnées : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'.
  2. Calculer les deux normes : ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} et ∥v⃗∥=x′2+y′2\|\vec{v}\| = \sqrt{x'^2 + y'^2}.
  3. En égalant les deux expressions du produit scalaire, isoler le cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥.\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.
  4. En déduire θ\theta avec la touche cos⁡−1\cos^{-1} (ou arccos⁡\arccos) de la calculatrice.

Travail d'une force le long d'un déplacement

En physique, le travail d’une force constante F⃗\vec{F} dont le point d’application se déplace de d⃗\vec{d} est le produit scalaire : W=F⃗⋅d⃗=∥F⃗∥×∥d⃗∥×cos⁡θ,W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| \times \cos\theta,

où θ\theta est l’angle entre la force et le déplacement. La force se mesure en newtons (N), le déplacement en mètres (m) et le travail en joules (J).

Si la force est perpendiculaire au déplacement, alors θ=90°\theta = 90° et le travail est nul : la force ne « fait rien avancer ».

Déterminer une direction orthogonale à un vecteur donné

On connaît un vecteur C⃗ (a ; b)\vec{C}\,(a\,;\,b) (par exemple la direction d’une contrainte) et on cherche un vecteur n⃗ (x ; y)\vec{n}\,(x\,;\,y) qui lui soit orthogonal.

  1. Écrire la condition d’orthogonalité : C⃗⋅n⃗=0\vec{C} \cdot \vec{n} = 0, soit ax+by=0a x + b y = 0.
  2. Choisir une solution simple : un vecteur orthogonal à (a ; b)(a\,;\,b) est (−b ; a)(-b\,;\,a) (ou (b ; −a)(b\,;\,-a)). En effet, a×(−b)+b×a=0a \times (-b) + b \times a = 0.
  3. Vérifier en recalculant le produit scalaire : il doit valoir 00.

Exemple : un vecteur orthogonal à C⃗ (4 ; 3)\vec{C}\,(4\,;\,3) est n⃗ (−3 ; 4)\vec{n}\,(-3\,;\,4), car 4×(−3)+3×4=−12+12=04 \times (-3) + 3 \times 4 = -12 + 12 = 0.

Les pièges à éviter

  • Croire que le résultat est un vecteur. FAUX : écrire « u⃗⋅v⃗=w⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w} ». VRAI : un produit scalaire est un nombre (u⃗⋅v⃗=7\vec{u} \cdot \vec{v} = 7), sans flèche.
  • Oublier le cosinus. FAUX : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|. VRAI : il faut le cosinus de l’angle, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta (l’égalité sans cosinus n’est vraie que si θ=0°\theta = 0°).
  • Multiplier les coordonnées « en croix ». FAUX : u⃗⋅v⃗=x×y′+y×x′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times y' + y \times x'. VRAI : abscisse par abscisse, ordonnée par ordonnée : u⃗⋅v⃗=x×x′+y×y′\vec{u} \cdot \vec{v} = x \times x' + y \times y'.
  • Oublier le signe d’une coordonnée. Une coordonnée négative reste négative : avec u⃗ (3 ; −2)\vec{u}\,(3\,;\,-2) et v⃗ (5 ; 4)\vec{v}\,(5\,;\,4), le second produit est (−2)×4=−8(-2) \times 4 = -8, pas +8+8.
  • Diviser à l’envers pour l’angle. FAUX : cos⁡θ=∥u⃗∥×∥v⃗∥u⃗⋅v⃗\cos\theta = \dfrac{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}{\vec{u} \cdot \vec{v}}. VRAI : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} (le produit scalaire est au numérateur).

Le bon réflexe

Tu as deux façons de calculer un produit scalaire ; choisis selon ce qu’on te donne :

  • des coordonnées ? Utilise u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' (rapide, sans angle).
  • des normes et un angle (souvent en physique : une force, un déplacement) ? Utilise u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta.

Et pour l’orthogonalité, un seul test : produit scalaire nul   ⟺  \iff perpendiculaires. Pour fabriquer un vecteur orthogonal à (a ; b)(a\,;\,b), retiens l’astuce : échange les coordonnées et change un signe →\rightarrow (−b ; a)(-b\,;\,a).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Produit scalaire de deux vecteurs par leurs coordonnées

Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs u⃗ (6 ; −2)\vec{u}\,(6\,;\,-2) et v⃗ (3 ; 5)\vec{v}\,(3\,;\,5). Calculer le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis indiquer si l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} est aigu, droit ou obtus.

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Vérifier l'orthogonalité de deux directions d'efforts

Sur une pièce, deux efforts s'exercent au même point. Dans un repère orthonormé (unité : le newton), ils sont représentés par les vecteurs F1⃗ (4 ; 3)\vec{F_1}\,(4\,;\,3) et F2⃗ (6 ; −8)\vec{F_2}\,(6\,;\,-8). Vérifier si ces deux directions d'efforts sont orthogonales (perpendiculaires).

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Angle entre deux phases représentées par des vecteurs (déphasage)

Dans un circuit, on représente deux grandeurs sinusoïdales (la tension et le courant) par deux vecteurs de Fresnel dans un repère orthonormé : u⃗ (3 ; 0)\vec{u}\,(3\,;\,0) pour la tension et v⃗ (3 ; 3)\vec{v}\,(3\,;\,3) pour le courant. Le déphasage est l'angle θ\theta entre ces deux vecteurs. Déterminer ce déphasage θ\theta, en degrés.

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Norme de la résultante de deux efforts

Sur une pièce d'un mécanisme, deux efforts s'appliquent au même point. Dans un repère orthonormé (unité : le newton), ils sont représentés par les vecteurs F1⃗ (5 ; 12)\vec{F_1}\,(5\,;\,12) et F2⃗ (3 ; −4)\vec{F_2}\,(3\,;\,-4). L'effort résultant est le vecteur somme R⃗=F1⃗+F2⃗\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}. Déterminer l'intensité de cet effort résultant, c'est-à-dire la norme ∥R⃗∥\|\vec{R}\|. Donner la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième de newton.

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Travail d'une force le long d'un déplacement incliné

Un opérateur tire une caisse sur un sol horizontal à l'aide d'une sangle. La force exercée a une intensité ∥F⃗∥=250\|\vec{F}\| = 250 N et fait un angle de 30°30° avec le sol. La caisse se déplace horizontalement sur une distance ∥d⃗∥=4\|\vec{d}\| = 4 m. Calculer le travail WW de cette force. Donner la valeur exacte, puis une valeur arrondie au joule.

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Angle au nœud d'un treillis métallique

Le bureau d'études d'une charpente métallique modélise un nœud du treillis dans un repère orthonormé gradué en mètres. Trois points sont repérés : le nœud A (1 ; 1)A\,(1\,;\,1), d'où partent deux barres allant respectivement vers B (7 ; 1)B\,(7\,;\,1) et vers C (3 ; 4)C\,(3\,;\,4). Déterminer la mesure de l'angle BAC^\widehat{BAC} formé par les deux barres au nœud AA, arrondie au dixième de degré.

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Bonus

Orienter un appui perpendiculairement à une contrainte

Pour dimensionner une pièce, un bureau d'études modélise la contrainte mécanique par le vecteur C⃗ (4 ; 3)\vec{C}\,(4\,;\,3) (unité : le kilonewton) dans un repère orthonormé gradué en centimètres. On veut placer un appui dont la direction soit orthogonale à cette contrainte. 1) Déterminer un vecteur n⃗\vec{n} orthogonal à C⃗\vec{C}. 2) En déduire le vecteur unitaire n0⃗\vec{n_0} de cette direction. 3) Donner les coordonnées du vecteur appui a⃗\vec{a}, de même direction, de longueur exactement 1010 cm.

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Régler deux axes pour qu'ils soient perpendiculaires

Sur une machine d'usinage, deux axes de guidage sont modélisés, dans un repère orthonormé gradué en centimètres, par les vecteurs u⃗ (8 ; −3)\vec{u}\,(8\,;\,-3) et v⃗ (k ; 4)\vec{v}\,(k\,;\,4), où kk est un réglage à déterminer. 1) Déterminer la valeur de kk pour que les deux axes soient perpendiculaires. 2) Pour cette valeur de kk, calculer la longueur du second axe v⃗\vec{v}, arrondie au dixième de centimètre.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

Vérifie en quelques minutes que tu as compris ce chapitre. Correction expliquée, score et points à la clé.

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Questions fréquentes

Quelles sont les deux façons de calculer un produit scalaire ?
Il y en a deux. Avec les coordonnées dans un repère orthonormé, si le vecteur u a pour coordonnées x et y et le vecteur v a pour coordonnées x prime et y prime, le produit scalaire vaut x multiplié par x prime, plus y multiplié par y prime. Avec les normes et l'angle, il vaut la norme de u multipliée par la norme de v, multipliée par le cosinus de l'angle entre les deux vecteurs. On choisit la formule selon les données : coordonnées d'un côté, normes et angle de l'autre.
Comment trouver l'angle entre deux vecteurs avec le produit scalaire ?
On calcule le produit scalaire des deux vecteurs avec leurs coordonnées, puis les deux normes. On en déduit le cosinus de l'angle en divisant le produit scalaire par le produit des deux normes. L'angle s'obtient enfin avec la touche arccosinus de la calculatrice. C'est ainsi que l'on mesure par exemple un déphasage entre deux signaux représentés par des vecteurs.
Comment vérifier que deux directions sont orthogonales en STI2D ?
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux, donc perpendiculaires, exactement lorsque leur produit scalaire est nul. Pour vérifier que deux directions d'efforts ou deux barres sont perpendiculaires, on calcule le produit scalaire de leurs vecteurs avec les coordonnées : s'il vaut zéro, les directions sont orthogonales ; sinon elles ne le sont pas.