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Rêves Vision
Terminale STI2D

Angle entre deux phases représentées par des vecteurs (déphasage)

Énoncé

Dans un circuit, on représente deux grandeurs sinusoïdales (la tension et le courant) par deux vecteurs de Fresnel dans un repère orthonormé : u⃗ (3 ; 0)\vec{u}\,(3\,;\,0) pour la tension et v⃗ (3 ; 3)\vec{v}\,(3\,;\,3) pour le courant. Le déphasage est l'angle θ\theta entre ces deux vecteurs. Déterminer ce déphasage θ\theta, en degrés.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Le déphasage est l'angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. Pour l'obtenir, passe par son cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.
  2. Calcule séparément trois quantités : le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, puis les deux normes ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  3. Tu devrais trouver cos⁡θ=12=22\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. Cherche l'angle de [0° ;180°][0°\,;180°] dont le cosinus vaut cette valeur (c'est un angle connu).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Écrire la formule de l'angle

    L'angle θ\theta entre deux vecteurs se trouve à partir de son cosinus : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥.\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}. Il faut donc calculer le produit scalaire (au numérateur) et les deux normes (au dénominateur).

  2. 2. Calculer le produit scalaire

    Avec les coordonnées : u⃗⋅v⃗=3×3+0×3=9+0=9.\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 3 + 0 \times 3 = 9 + 0 = 9.

  3. 3. Calculer les deux normes

    Pour la tension : ∥u⃗∥=32+02=9=3.\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3. Pour le courant : ∥v⃗∥=32+32=9+9=18=32.\|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

  4. 4. En déduire le cosinus du déphasage

    On remplace dans la formule : cos⁡θ=93×32=992=12.\cos\theta = \dfrac{9}{3 \times 3\sqrt{2}} = \dfrac{9}{9\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}. On rationalise en multipliant par 22\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} : cos⁡θ=22.\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  5. 5. Conclure

    L'angle de [0° ;180°][0°\,;180°] dont le cosinus vaut 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} est 45°45°. À la calculatrice, cos⁡−1 ⁣(22)=45°\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45°. Le déphasage entre la tension et le courant est de θ=45°\theta = 45°.
Réponse finale
cos⁡θ=93×32=22 ⇒ θ=45∘\cos\theta = \dfrac{9}{3 \times 3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ \theta = 45^{\circ}
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