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Orienter un appui perpendiculairement à une contrainte

Énoncé

Pour dimensionner une pièce, un bureau d'études modélise la contrainte mécanique par le vecteur C⃗ (4 ; 3)\vec{C}\,(4\,;\,3) (unité : le kilonewton) dans un repère orthonormé gradué en centimètres. On veut placer un appui dont la direction soit orthogonale à cette contrainte. 1) Déterminer un vecteur n⃗\vec{n} orthogonal à C⃗\vec{C}. 2) En déduire le vecteur unitaire n0⃗\vec{n_0} de cette direction. 3) Donner les coordonnées du vecteur appui a⃗\vec{a}, de même direction, de longueur exactement 1010 cm.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Orthogonal à C⃗\vec{C} » signifie produit scalaire nul : cherche n⃗ (x ; y)\vec{n}\,(x\,;\,y) tel que C⃗⋅n⃗=0\vec{C} \cdot \vec{n} = 0, soit 4x+3y=04x + 3y = 0.
  2. Astuce de cours : un vecteur orthogonal à (a ; b)(a\,;\,b) est (−b ; a)(-b\,;\,a). Pars de n⃗ (3 ; −4)\vec{n}\,(3\,;\,-4) et vérifie que C⃗⋅n⃗=0\vec{C} \cdot \vec{n} = 0.
  3. Pour le vecteur unitaire, divise chaque coordonnée de n⃗\vec{n} par sa norme ∥n⃗∥\|\vec{n}\|. Ensuite, pour obtenir une longueur de 1010 cm, multiplie le vecteur unitaire par 1010.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire l'orthogonalité

    Un vecteur n⃗ (x ; y)\vec{n}\,(x\,;\,y) est orthogonal à C⃗ (4 ; 3)\vec{C}\,(4\,;\,3) exactement lorsque leur produit scalaire est nul : C⃗⋅n⃗=0\vec{C} \cdot \vec{n} = 0, c'est-à-dire 4x+3y=0.4x + 3y = 0. Toute solution non nulle de cette équation convient comme direction d'appui.

  2. 2. Choisir un vecteur orthogonal simple

    On utilise l'astuce : un vecteur orthogonal à (a ; b)(a\,;\,b) est (−b ; a)(-b\,;\,a). Avec C⃗ (4 ; 3)\vec{C}\,(4\,;\,3), on prend donc n⃗ (−3 ; 4)\vec{n}\,(-3\,;\,4). Pour choisir une orientation de l'appui « vers la droite », on peut aussi prendre le vecteur opposé n⃗ (3 ; −4)\vec{n}\,(3\,;\,-4) : c'est celui qu'on garde ici. On vérifie : C⃗⋅n⃗=4×3+3×(−4)=12−12=0.\vec{C} \cdot \vec{n} = 4 \times 3 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0. Le produit scalaire est nul, donc n⃗\vec{n} est bien orthogonal à C⃗\vec{C}.

  3. 3. Calculer la norme de ce vecteur

    Pour fabriquer le vecteur unitaire, il faut la norme de n⃗ (3 ; −4)\vec{n}\,(3\,;\,-4) : ∥n⃗∥=32+(−4)2=9+16=25=5.\|\vec{n}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. On reconnaît le triplet 3−4−53 - 4 - 5 : le résultat est cohérent.

  4. 4. Construire le vecteur unitaire

    Le vecteur unitaire n0⃗\vec{n_0} s'obtient en divisant chaque coordonnée de n⃗\vec{n} par sa norme : n0⃗=1∥n⃗∥ n⃗=15 (3 ; −4)=(35 ; −45)=(0,6 ; −0,8).\vec{n_0} = \dfrac{1}{\|\vec{n}\|}\,\vec{n} = \dfrac{1}{5}\,(3\,;\,-4) = \left(\dfrac{3}{5}\,;\,-\dfrac{4}{5}\right) = (0{,}6\,;\,-0{,}8). On vérifie sa norme : 0,62+(−0,8)2=0,36+0,64=1=1.\sqrt{0{,}6^2 + (-0{,}8)^2} = \sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1. Le vecteur est bien unitaire.

  5. 5. Obtenir le vecteur appui de longueur 10 cm

    Le vecteur unitaire donne la direction ; pour une longueur de 1010 cm, on multiplie n0⃗\vec{n_0} par 1010 : a⃗=10×n0⃗=10×(0,6 ; −0,8)=(6 ; −8).\vec{a} = 10 \times \vec{n_0} = 10 \times (0{,}6\,;\,-0{,}8) = (6\,;\,-8).

  6. 6. Vérifier le résultat

    On contrôle les deux conditions. Longueur : ∥a⃗∥=62+(−8)2=36+64=100=10\|\vec{a}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 cm. Orthogonalité : C⃗⋅a⃗=4×6+3×(−8)=24−24=0.\vec{C} \cdot \vec{a} = 4 \times 6 + 3 \times (-8) = 24 - 24 = 0. Les deux conditions sont remplies. L'appui peut être orienté selon a⃗ (6 ; −8)\vec{a}\,(6\,;\,-8) : il est orthogonal à la contrainte et mesure exactement 1010 cm.
Réponse finale
n⃗ (3 ; −4) ;n0⃗=(0,6 ; −0,8) ;a⃗=10 n0⃗=(6 ; −8)\vec{n}\,(3\,;\,-4) \ ; \quad \vec{n_0} = (0{,}6\,;\,-0{,}8) \ ; \quad \vec{a} = 10\,\vec{n_0} = (6\,;\,-8)
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