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Rêves Vision
Terminale STI2D

Norme de la résultante de deux efforts

Énoncé

Sur une pièce d'un mécanisme, deux efforts s'appliquent au même point. Dans un repère orthonormé (unité : le newton), ils sont représentés par les vecteurs F1⃗ (5 ; 12)\vec{F_1}\,(5\,;\,12) et F2⃗ (3 ; −4)\vec{F_2}\,(3\,;\,-4). L'effort résultant est le vecteur somme R⃗=F1⃗+F2⃗\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}. Déterminer l'intensité de cet effort résultant, c'est-à-dire la norme ∥R⃗∥\|\vec{R}\|. Donner la valeur exacte, puis une valeur arrondie au dixième de newton.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. La résultante est la somme des deux vecteurs : additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles pour obtenir R⃗ (x ; y)\vec{R}\,(x\,;\,y).
  2. Le carré scalaire relie un vecteur à sa norme : R⃗⋅R⃗=∥R⃗∥2=x2+y2\vec{R} \cdot \vec{R} = \|\vec{R}\|^2 = x^2 + y^2. La norme s'obtient en prenant la racine carrée.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Calculer la résultante

    Sur la pièce, l'effort total est la résultante R⃗=F1⃗+F2⃗\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}. On additionne coordonnée par coordonnée : abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée. R⃗ (5+3 ; 12+(−4))=R⃗ (8 ; 8).\vec{R}\,(5 + 3\,;\,12 + (-4)) = \vec{R}\,(8\,;\,8). La résultante a donc pour coordonnées (8 ; 8)(8\,;\,8).

  2. 2. Relier la norme au carré scalaire

    L'intensité de la résultante est la norme du vecteur R⃗\vec{R}. On utilise le lien entre produit scalaire et norme : R⃗⋅R⃗=∥R⃗∥2\vec{R} \cdot \vec{R} = \|\vec{R}\|^2. Avec les coordonnées R⃗ (8 ; 8)\vec{R}\,(8\,;\,8) : R⃗⋅R⃗=8×8+8×8=64+64=128.\vec{R} \cdot \vec{R} = 8 \times 8 + 8 \times 8 = 64 + 64 = 128. Donc ∥R⃗∥2=128.\|\vec{R}\|^2 = 128.

  3. 3. Calculer la valeur exacte de la norme

    La norme est positive, donc ∥R⃗∥=128\|\vec{R}\| = \sqrt{128}. On simplifie la racine en isolant un carré parfait : 128=64×2128 = 64 \times 2, donc ∥R⃗∥=64×2=64×2=82.\|\vec{R}\| = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}. C'est la valeur exacte de l'intensité, en newtons.

  4. 4. Donner la valeur arrondie

    On remplace 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414 : ∥R⃗∥=8×1,414≈11,3\|\vec{R}\| = 8 \times 1{,}414 \approx 11{,}3 N. L'intensité de l'effort résultant vaut ∥R⃗∥=82≈11,3\|\vec{R}\| = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3 newtons.
Réponse finale
R⃗ (8 ; 8) ;∥R⃗∥2=82+82=128 ;∥R⃗∥=82≈11,3 N\vec{R}\,(8\,;\,8) \ ; \quad \|\vec{R}\|^2 = 8^2 + 8^2 = 128 \ ; \quad \|\vec{R}\| = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3 \ \text{N}
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