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Rêves Vision
Terminale STI2D

Régler deux axes pour qu'ils soient perpendiculaires

Énoncé

Sur une machine d'usinage, deux axes de guidage sont modélisés, dans un repère orthonormé gradué en centimètres, par les vecteurs u⃗ (8 ; −3)\vec{u}\,(8\,;\,-3) et v⃗ (k ; 4)\vec{v}\,(k\,;\,4), où kk est un réglage à déterminer. 1) Déterminer la valeur de kk pour que les deux axes soient perpendiculaires. 2) Pour cette valeur de kk, calculer la longueur du second axe v⃗\vec{v}, arrondie au dixième de centimètre.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. « Perpendiculaires » se traduit par produit scalaire nul : écris la condition u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 avec les coordonnées, en gardant kk comme inconnue.
  2. Tu obtiens une équation du premier degré en kk : 8k−12=08k - 12 = 0. Isole kk comme pour n'importe quelle équation.
  3. Pour la longueur, remplace kk par sa valeur dans v⃗\vec{v}, puis applique ∥v⃗∥=x2+y2\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} avant d'arrondir.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire la perpendicularité

    Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires exactement lorsque leur produit scalaire est nul : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. On écrit donc le produit scalaire avec les coordonnées, en laissant kk comme inconnue.

  2. 2. Écrire l'équation en k

    Avec u⃗ (8 ; −3)\vec{u}\,(8\,;\,-3) et v⃗ (k ; 4)\vec{v}\,(k\,;\,4), l'expression analytique donne : u⃗⋅v⃗=8×k+(−3)×4=8k−12.\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \times k + (-3) \times 4 = 8k - 12. La condition de perpendicularité s'écrit donc : 8k−12=0.8k - 12 = 0.

  3. 3. Résoudre l'équation

    On résout l'équation du premier degré. On ajoute 1212 aux deux membres : 8k=128k = 12, puis on divise par 88 : k=128=32=1,5.k = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5. Vérification : avec k=1,5k = 1{,}5, u⃗⋅v⃗=8×1,5−12=12−12=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 \times 1{,}5 - 12 = 12 - 12 = 0, donc les deux axes sont bien perpendiculaires.

  4. 4. Calculer la longueur du second axe

    Pour k=1,5k = 1{,}5, le second axe est modélisé par v⃗ (1,5 ; 4)\vec{v}\,(1{,}5\,;\,4). Sa longueur est sa norme : ∥v⃗∥=1,52+42=2,25+16=18,25.\|\vec{v}\| = \sqrt{1{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{2{,}25 + 16} = \sqrt{18{,}25}.

  5. 5. Conclure

    On calcule : ∥v⃗∥=18,25≈4,3\|\vec{v}\| = \sqrt{18{,}25} \approx 4{,}3 cm. Le réglage à appliquer est k=1,5k = 1{,}5 ; le second axe a alors une longueur d'environ 4,34{,}3 cm.
Réponse finale
u⃗⋅v⃗=8k−12=0 ⇒ k=32=1,5 ;∥v⃗∥=1,52+42=18,25≈4,3 cm\vec{u} \cdot \vec{v} = 8k - 12 = 0 \ \Rightarrow \ k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \ ; \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{1{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{18{,}25} \approx 4{,}3 \ \text{cm}
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