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Rêves Vision
Terminale STI2D

Qualité d'un ajustement : tension et luminosité d'une LED

Énoncé

On fait varier la tension xx (en V) aux bornes d'une LED et on relève sa luminosité yy (en unités arbitraires) :

| xx (V) | 1,8 | 2,0 | 2,2 | 2,4 | 2,6 | 2,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| yy | 5 | 20 | 45 | 80 | 130 | 190 |

La calculatrice donne, pour la droite des moindres carrés, un coefficient de corrélation r≈0,974r \approx 0{,}974.

1. Que vaut r2r^2 ? Que peux-tu dire du signe de rr ?
2. L'ajustement affine de cette série est-il de bonne qualité ? Justifier.
3. Quel autre regard, en plus de rr, permet de juger si une droite est le bon modèle ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. rr est toujours compris entre −1-1 et 11 : ici regarde s'il est proche de 11 ou de 00.
  2. Le signe de rr se lit sur le sens de variation : ici, quand la tension augmente, la luminosité augmente.
  3. Une droite n'est le bon modèle que si le nuage est vraiment allongé : pense à regarder sa forme, pas seulement la valeur de rr.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Calculer r au carré et lire le signe

    On élève rr au carré :
    r2≈0,9742≈0,949.r^2 \approx 0{,}974^2 \approx 0{,}949.
    Les valeurs de yy augmentent quand xx augmente, donc la corrélation est positive : r>0r > 0, ce qui est cohérent avec r≈0,974>0r \approx 0{,}974 > 0.

  2. 2. Juger la qualité de l'ajustement

    Le coefficient de corrélation vérifie ∣r∣≈0,974|r| \approx 0{,}974, ce qui est très proche de 11 (et au-delà du seuil usuel 0,950{,}95). Les points sont donc bien alignés : l'ajustement affine est de bonne qualité, on peut utiliser la droite pour interpoler.

  3. 3. Compléter par l'examen du nuage

    Le coefficient rr ne suffit pas à lui seul : il faut aussi regarder le nuage de points. Ici les luminosités augmentent de plus en plus vite (de 55 à 2020, puis jusqu'à 190190), ce qui suggère une courbure : même avec un bon rr, un modèle affine peut être imparfait pour des prévisions loin du centre. Avec r≈0,974r \approx 0{,}974 et r2≈0,949r^2 \approx 0{,}949, la corrélation est forte et positive, donc l'ajustement affine est de bonne qualité ; mais l'examen du nuage reste indispensable pour confirmer qu'une droite est bien le modèle adapté.
Réponse finale
r2≈0,9742≈0,949;r>0 (correˊlation positive);∣r∣≈0,974≥0,95⇒bon ajustement affiner^2 \approx 0{,}974^2 \approx 0{,}949 \quad ; \quad r > 0 \ \text{(corrélation positive)} \quad ; \quad |r| \approx 0{,}974 \geq 0{,}95 \Rightarrow \text{bon ajustement affine}
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