Terminale STI2D · Chapitre 11

Statistiques à deux variables

Cours de Terminale STI2D sur les statistiques à deux variables : nuage de points, point moyen, droite des moindres carrés, corrélation et prévisions. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En STI2D, tu mesures sans arrêt deux grandeurs qui varient ensemble : la résistance d’un capteur selon la température, la tension aux bornes d’une LED selon sa luminosité, la puissance d’un signal selon la longueur de câble. Les statistiques à deux variables servent à résumer ces mesures par une droite et à prédire une valeur que tu n’as pas mesurée. C’est l’outil de base de l’étalonnage d’un capteur.

Ce que tu sauras faire

Je sais représenter un nuage de points à partir d’un tableau de mesures.
Je sais calculer et placer le point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ .
Je sais obtenir l’équation de la droite des moindres carrés $y = a x + b$ à la calculatrice.
Je sais m’en servir pour prédire une valeur (interpolation ou extrapolation).
Je sais interpréter le coefficient de corrélation $r$ pour juger la qualité d’un ajustement.

À quoi ça sert ?

Un capteur ne te donne jamais directement la grandeur que tu veux : il sort une tension, une résistance, un courant. Pour t’en servir, il faut l’étalonner, c’est-à-dire trouver la relation entre ce qu’il mesure et ce qu’il affiche. Cette relation est très souvent affine, et la droite des moindres carrés est exactement ce qui la résume. Ensuite, quand le capteur t’envoie une valeur, tu remontes à la grandeur réelle. Même logique quand tu regardes les vues d’une chaîne qui montent semaine après semaine : tu peux estimer la tendance et prévoir la suite.

1. Nuage de points et point moyen

Une série statistique à deux variables associe, à chaque individu (ici chaque mesure), un couple de valeurs $(x\,;\,y)$ . La variable $x$ est en abscisse, la variable $y$ en ordonnée.

Nuage de points

On considère $n$ couples de mesures $(x_1\,;\,y_1), (x_2\,;\,y_2), \dots, (x_n\,;\,y_n)$ .

Le nuage de points est l’ensemble des points $M_1, M_2, \dots, M_n$ de coordonnées $(x_i\,;\,y_i)$ placés dans un repère.

Il permet de voir la forme de la relation : si les points sont à peu près alignés, un ajustement affine (une droite) est pertinent.

Point moyen

Le point moyen du nuage, noté $G$ , a pour coordonnées les moyennes de chaque variable : $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \qquad \text{et} \qquad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}.$ On le note $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ . C’est le centre de gravité du nuage : il indique sa position d’ensemble.

Calculer un point moyen

On relève la résistance $R$ (en $\Omega$ ) d’un capteur pour différentes températures $T$ (en °C) :

$T$ (°C)	0	10	20	30	40	50
$R$ ( $\Omega$ )	100	104	108	112	116	120

Il y a $n = 6$ mesures.

$\bar{T} = \frac{0 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50}{6} = \frac{150}{6} = 25 \text{ °C}.$ $\bar{R} = \frac{100 + 104 + 108 + 112 + 116 + 120}{6} = \frac{660}{6} = 110 \ \Omega.$

Le point moyen est donc $G(25\,;\,110)$ . On le place dans le nuage : il tombe bien au centre des points.

2. Ajustement affine : la droite des moindres carrés

Quand le nuage a une forme allongée, on cherche la droite qui le résume le mieux. Le critère retenu est celui des moindres carrés.

Droite des moindres carrés (droite d'ajustement)

Pour chaque point $M_i$ du nuage, on appelle résidu l’écart vertical entre le point et la droite. La droite des moindres carrés de $y$ en $x$ est la droite $y = a x + b$ qui rend minimale la somme des carrés de tous ces résidus. C’est la « meilleure » droite d’ajustement au sens des moindres carrés.

La droite passe par le point moyen

La droite des moindres carrés d’équation $y = a x + b$ passe toujours par le point moyen $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ : $\bar{y} = a\,\bar{x} + b.$ C’est un excellent moyen de contrôler ton équation : remplace $x$ par $\bar{x}$ , tu dois retrouver $\bar{y}$ .

Obtenir l'équation à la calculatrice

En STI2D, on ne calcule pas $a$ et $b$ à la main : on utilise le mode statistique de la calculatrice.

Entrer les abscisses dans une liste (par exemple $L_1$ ) et les ordonnées dans une autre ( $L_2$ ).
Lancer une régression linéaire (menu « stat », « calc », option $ax+b$ ou « LinReg »).
Lire les coefficients : la machine affiche $a$ (coefficient directeur, ou pente) et $b$ (ordonnée à l’origine).
Écrire l’équation $y = a x + b$ en arrondissant raisonnablement, et la contrôler en vérifiant qu’elle passe par $G$ .

Garde assez de décimales pour $a$ et $b$ : c’est seulement le résultat final d’une prévision que l’on arrondit, pas les coefficients eux-mêmes.

Faire une prévision avec la droite

Une fois l’équation $y = a x + b$ obtenue :

Prévoir un $y$ à partir d’un $x$ donné : on remplace $x$ par sa valeur et on calcule.
Prévoir un $x$ à partir d’un $y$ donné : on résout l’équation $y = a x + b$ , donc $x = \dfrac{y - b}{a}$ .

Toujours indiquer l’unité et vérifier que le résultat a un ordre de grandeur plausible.

Une prévision pas à pas

Pour un capteur, la calculatrice donne la droite d’ajustement $y = 0{,}402\,x + 99{,}87$ , où $x$ est la température (en °C) et $y$ la résistance (en $\Omega$ ).

Quelle résistance prévoir à $45$ °C (température comprise entre les mesures) ?

On remplace $x$ par $45$ : $y = 0{,}402 \times 45 + 99{,}87 = 18{,}09 + 99{,}87 = 117{,}96.$

On prévoit donc une résistance d’environ $117{,}96 \ \Omega$ à $45$ °C.

3. Interpolation, extrapolation et qualité de l’ajustement

Interpolation et extrapolation

On utilise la droite d’ajustement pour estimer une valeur.

Interpoler : estimer une valeur à l’intérieur de la plage des mesures (entre le plus petit et le plus grand $x$ observés). C’est en général fiable.
Extrapoler : prolonger la droite au-delà de la plage des mesures. C’est plus risqué : rien ne garantit que la relation reste affine loin des valeurs observées (un capteur peut saturer, un composant changer de comportement…).

Coefficient de corrélation linéaire

La calculatrice affiche aussi un nombre $r$ (parfois sous la forme $r^2$ ), le coefficient de corrélation linéaire. Il mesure à quel point les points sont alignés :

$r$ est toujours compris entre $-1$ et $1$ ;
plus $|r|$ est proche de $1$ , plus les points sont alignés et meilleur est l’ajustement affine ;
$r > 0$ : quand $x$ augmente, $y$ a tendance à augmenter (corrélation positive) ; $r < 0$ : $y$ a tendance à diminuer ;
$r$ proche de $0$ : pas de relation affine nette, l’ajustement par une droite n’a pas de sens.

Lire la qualité d'un ajustement

En pratique, pour des mesures physiques, on considère souvent qu’un ajustement affine est de bonne qualité lorsque $|r|$ est très proche de $1$ (par exemple $|r| \geq 0{,}95$ ). On peut alors utiliser la droite en confiance pour interpoler.

Si $r^2$ est donné (toujours entre $0$ et $1$ ), il s’interprète de la même façon : plus il est proche de $1$ , meilleur est l’alignement.

Le bon réflexe

Avant de calculer quoi que ce soit : trace ou regarde le nuage. S’il est allongé et bien aligné, l’ajustement affine est justifié. S’il est en arc, en courbe ou éparpillé, une droite n’est pas le bon modèle, même si la calculatrice accepte de la calculer. Le nuage décide, pas la machine.

Les pièges à éviter

Confondre corrélation et causalité : un $r$ proche de $1$ dit que deux grandeurs varient ensemble, pas que l’une cause l’autre. C’est FAUX de conclure « $x$ provoque $y$ » à partir du seul coefficient. Ce qui est VRAI : $r$ mesure seulement l’intensité de l’alignement.
Arrondir les coefficients trop tôt : si tu remplaces $a = 0{,}4017$ par $0{,}4$ dès le départ, ta prévision finale peut être faussée. On garde les décimales et on n’arrondit qu’à la fin.
Extrapoler sans précaution : prolonger la droite très loin des mesures (« la résistance à $500$ °C ») donne un nombre, mais ce nombre n’est pas fiable. Toujours préciser si l’on interpole (sûr) ou si l’on extrapole (à discuter).
Inverser $x$ et $y$ : la droite « de $y$ en $x$ » n’est pas la même que celle « de $x$ en $y$ ». On ajuste la grandeur que l’on veut prédire ( $y$ ) en fonction de celle que l’on connaît ( $x$ ).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Nuage de points et point moyen d'un capteur

On mesure la résistance $R$ (en $\Omega$ ) d'un capteur de température pour différentes températures $T$ (en °C) :

| $T$ (°C) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| $R$ ( $\Omega$ ) | 50 | 58 | 64 | 73 | 80 |

1. Représenter le nuage de points associé à cette série $(T\,;\,R)$ .
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer dans le nuage.

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Prévoir l'atténuation d'un signal avec une droite

La puissance $P$ (en dBm) d'un signal le long d'un câble diminue avec la longueur $d$ (en m). Un technicien a tracé le nuage des mesures, puis la droite d'ajustement d'équation $P = -0{,}25\,d + 12$ , valable pour $d$ compris entre $0$ et $40$ m.

1. Quelle puissance peut-on prévoir pour une longueur de câble de $20$ m ?
2. À partir de quelle longueur la puissance du signal descend-elle à $2$ dBm ?

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Vues d'une chaîne TikTok semaine après semaine

Une créatrice suit le nombre de vues $y$ (en milliers) de sa chaîne TikTok au fil des semaines $x$ depuis le lancement :

| $x$ (semaine) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (milliers de vues) | 8 | 14 | 19 | 25 | 32 | 38 |

La calculatrice donne, pour la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ , l'équation $y = 6\,x + 1{,}5$ .

1. Représenter le nuage de points associé à cette série $(x\,;\,y)$ .
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ , puis vérifier que la droite d'ajustement passe bien par $G$ .
3. En supposant que la tendance se poursuive, à partir de quelle semaine la chaîne dépasse-t-elle $30$ milliers de vues ?

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Équation de la droite des moindres carrés

On mesure la résistance $y$ (en $\Omega$ ) d'une sonde de température pour plusieurs valeurs de la température $x$ (en °C) :

| $x$ (°C) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ ( $\Omega$ ) | 103,9 | 107,8 | 112,0 | 115,9 | 120,2 | 123,8 |

1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ , sous la forme $y = a x + b$ (arrondir $a$ à $0{,}001$ et $b$ à $0{,}01$ ).
2. Vérifier que cette droite passe bien par le point moyen $G$ .
3. En déduire une estimation de la résistance à $45$ °C.

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Qualité d'un ajustement : tension et luminosité d'une LED

On fait varier la tension $x$ (en V) aux bornes d'une LED et on relève sa luminosité $y$ (en unités arbitraires) :

| $x$ (V) | 1,8 | 2,0 | 2,2 | 2,4 | 2,6 | 2,8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 20 | 45 | 80 | 130 | 190 |

La calculatrice donne, pour la droite des moindres carrés, un coefficient de corrélation $r \approx 0{,}974$ .

1. Que vaut $r^2$  ? Que peux-tu dire du signe de $r$  ?
2. L'ajustement affine de cette série est-il de bonne qualité ? Justifier.
3. Quel autre regard, en plus de $r$ , permet de juger si une droite est le bon modèle ?

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Stockage occupé par les vidéos d'un drone

Un drone enregistre des clips vidéo sur sa carte mémoire. Pour estimer la place occupée, on note l'espace de stockage utilisé $y$ (en Go) selon le nombre de clips $x$ déjà enregistrés :

| $x$ (clips) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (Go) | 3,8 | 7,1 | 10,5 | 13,6 | 17,2 | 20,4 |

1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$ , sous la forme $y = a\,x + b$ (arrondir $a$ à $0{,}001$ et $b$ à $0{,}01$ ).
2. Vérifier que cette droite passe bien par le point moyen $G$ .
3. La carte mémoire a une capacité de $16$ Go. En utilisant le modèle, estimer l'espace occupé après $22$ clips, et indiquer s'il reste de la place.

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Bonus

Étalonnage d'un capteur de pression

Pour étalonner un capteur de pression, on applique des pressions connues $p$ (en bar) et on relève la tension de sortie $U$ (en V) :

| $p$ (bar) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $U$ (V) | 0,50 | 0,69 | 0,92 | 1,10 | 1,28 | 1,51 |

Le capteur est conçu pour fonctionner entre $0$ et $5$ bar.

1. Déterminer, à la calculatrice, l'équation de la droite des moindres carrés $U = a p + b$ (arrondir $a$ et $b$ à $0{,}01$ ) et donner le coefficient de corrélation $r$ .
2. Estimer la tension de sortie pour une pression de $3{,}5$ bar.
3. En exploitation, le capteur renvoie $U = 1{,}00$ V : à quelle pression cela correspond-il ?
4. Un technicien veut utiliser ce même modèle pour estimer la tension à $8$ bar. Calculer la valeur prévue, puis discuter sa fiabilité.

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Étalonnage d'une thermistance sur un moteur

Pour surveiller un moteur, on étalonne une thermistance : on relève la tension de sortie $U$ (en V) du capteur pour plusieurs températures $T$ (en °C) du moteur. Le capteur est garanti pour des températures comprises entre $20$ et $120$ °C.

| $T$ (°C) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $U$ (V) | 2,10 | 1,78 | 1,52 | 1,27 | 1,05 | 0,82 |

1. À la calculatrice, déterminer l'équation de la droite des moindres carrés $U = a\,T + b$ (arrondir $a$ à $0{,}0001$ et $b$ à $0{,}001$ ) et donner le coefficient de corrélation $r$ . Que peut-on dire de son signe et de la qualité de l'ajustement ?
2. Estimer la tension de sortie pour une température de $70$ °C.
3. En fonctionnement, le capteur renvoie $U = 1{,}40$ V : à quelle température du moteur cela correspond-il ?
4. Un technicien veut estimer la tension à $160$ °C. Calculer la valeur prévue par le modèle, puis discuter sa fiabilité.

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Teste-toi

Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le point moyen d'un nuage de points ?

Le point moyen, souvent noté G, a pour abscisse la moyenne de toutes les valeurs de la première variable et pour ordonnée la moyenne de toutes les valeurs de la seconde. C'est en quelque sorte le centre du nuage, et la droite des moindres carrés passe toujours par ce point.

À quoi sert la droite des moindres carrés ?

C'est la droite qui résume au mieux un nuage de points, en rendant la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Une fois son équation connue, on s'en sert pour estimer une valeur manquante : par exemple prévoir la résistance d'un capteur à une température que l'on n'a pas mesurée.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des mesures déjà réalisées : c'est généralement fiable. Extrapoler, c'est prolonger le modèle au-delà de cette plage : c'est beaucoup plus risqué, car rien ne garantit que la relation affine reste valable en dehors des valeurs observées.