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Rêves Vision
Terminale STI2D

Équation de la droite des moindres carrés

Énoncé

On mesure la résistance yy (en Ω\Omega) d'une sonde de température pour plusieurs valeurs de la température xx (en °C) :

| xx (°C) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| yy (Ω\Omega) | 103,9 | 107,8 | 112,0 | 115,9 | 120,2 | 123,8 |

1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de yy en xx, sous la forme y=ax+by = a x + b (arrondir aa à 0,0010{,}001 et bb à 0,010{,}01).
2. Vérifier que cette droite passe bien par le point moyen GG.
3. En déduire une estimation de la résistance à 4545 °C.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Range les températures dans une liste (L1L_1) et les résistances dans une autre (L2L_2), puis lance une régression linéaire « ax+bax+b ».
  2. Le point moyen GG a pour coordonnées xˉ\bar{x} (moyenne des températures) et yˉ\bar{y} (moyenne des résistances) : la calculatrice peut aussi te les donner.
  3. Pour le contrôle, remplace xx par xˉ\bar{x} dans l'équation : tu dois retrouver yˉ\bar{y}. Pour la question 3, remplace xx par 4545.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Lire les coefficients à la calculatrice

    On entre les 66 températures dans la liste L1L_1 et les 66 résistances dans L2L_2, puis on lance la régression linéaire (ax+bax+b). La machine affiche le coefficient directeur a≈0,4017a \approx 0{,}4017 et l'ordonnée à l'origine b≈99,873b \approx 99{,}873.

  2. 2. Écrire l'équation arrondie

    En arrondissant comme demandé : a≈0,402a \approx 0{,}402 et b≈99,87b \approx 99{,}87. L'équation de la droite des moindres carrés est donc :
    y=0,402 x+99,87.y = 0{,}402\,x + 99{,}87.

  3. 3. Calculer le point moyen

    On calcule les deux moyennes (n=6n = 6) :
    xˉ=10+20+30+40+50+606=2106=35 °C,\bar{x} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60}{6} = \frac{210}{6} = 35 \text{ °C},
    yˉ=103,9+107,8+112,0+115,9+120,2+123,86=683,66≈113,93 Ω.\bar{y} = \frac{103{,}9 + 107{,}8 + 112{,}0 + 115{,}9 + 120{,}2 + 123{,}8}{6} = \frac{683{,}6}{6} \approx 113{,}93 \ \Omega.
    Le point moyen est donc G(35 ; 113,93)G(35\,;\,113{,}93).

  4. 4. Vérifier le passage par G

    On remplace xx par xˉ=35\bar{x} = 35 dans l'équation :
    0,402×35+99,87=14,07+99,87=113,94.0{,}402 \times 35 + 99{,}87 = 14{,}07 + 99{,}87 = 113{,}94.
    On retrouve bien environ yˉ≈113,93 Ω\bar{y} \approx 113{,}93 \ \Omega (le petit écart vient des arrondis) : la droite passe par GG, l'équation est cohérente.

  5. 5. Estimer la résistance à 45 °C

    La valeur 4545 °C est comprise entre 1010 et 6060 °C : c'est une interpolation. On remplace xx par 4545 :
    y=0,402×45+99,87=18,09+99,87=117,96.y = 0{,}402 \times 45 + 99{,}87 = 18{,}09 + 99{,}87 = 117{,}96.
    On estime la résistance à environ 117,96 Ω117{,}96 \ \Omega pour une température de 4545 °C.
Réponse finale
y=0,402 x+99,87;G(35 ; 113,93);y(45)=0,402×45+99,87≈117,96 Ωy = 0{,}402\,x + 99{,}87 \quad ; \quad G(35\,;\,113{,}93) \quad ; \quad y(45) = 0{,}402 \times 45 + 99{,}87 \approx 117{,}96 \ \Omega
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