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Rêves Vision
Terminale STI2D

Stockage occupé par les vidéos d'un drone

Énoncé

Un drone enregistre des clips vidéo sur sa carte mémoire. Pour estimer la place occupée, on note l'espace de stockage utilisé yy (en Go) selon le nombre de clips xx déjà enregistrés :

| xx (clips) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| yy (Go) | 3,8 | 7,1 | 10,5 | 13,6 | 17,2 | 20,4 |

1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de yy en xx, sous la forme y=a x+by = a\,x + b (arrondir aa à 0,0010{,}001 et bb à 0,010{,}01).
2. Vérifier que cette droite passe bien par le point moyen GG.
3. La carte mémoire a une capacité de 1616 Go. En utilisant le modèle, estimer l'espace occupé après 2222 clips, et indiquer s'il reste de la place.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Range les nombres de clips dans une liste (L1L_1) et les espaces utilisés dans une autre (L2L_2), puis lance une régression linéaire « ax+bax+b ».
  2. Le point moyen GG a pour coordonnées xˉ\bar{x} (moyenne des clips) et yˉ\bar{y} (moyenne des espaces) ; remplace ensuite xx par xˉ\bar{x} dans l'équation pour contrôler le passage par GG.
  3. Pour la question 3, remplace xx par 2222 dans l'équation, puis compare le résultat à la capacité de 1616 Go.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Lire les coefficients à la calculatrice

    On entre les 66 nombres de clips dans la liste L1L_1 et les 66 espaces utilisés dans L2L_2, puis on lance la régression linéaire (ax+bax+b). La machine affiche le coefficient directeur a≈0,665a \approx 0{,}665 et l'ordonnée à l'origine b≈0,46b \approx 0{,}46.

  2. 2. Écrire l'équation arrondie

    En arrondissant comme demandé (aa à 0,0010{,}001 et bb à 0,010{,}01), l'équation de la droite des moindres carrés est :
    y=0,665 x+0,46.y = 0{,}665\,x + 0{,}46.

  3. 3. Calculer le point moyen

    On calcule les deux moyennes (n=6n = 6) :
    xˉ=5+10+15+20+25+306=1056=17,5,\bar{x} = \dfrac{5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30}{6} = \dfrac{105}{6} = 17{,}5,
    yˉ=3,8+7,1+10,5+13,6+17,2+20,46=72,66=12,1.\bar{y} = \dfrac{3{,}8 + 7{,}1 + 10{,}5 + 13{,}6 + 17{,}2 + 20{,}4}{6} = \dfrac{72{,}6}{6} = 12{,}1.
    Le point moyen est donc G(17,5 ; 12,1)G(17{,}5\,;\,12{,}1).

  4. 4. Vérifier le passage par G

    D'après le cours, la droite passe par GG. On remplace xx par xˉ=17,5\bar{x} = 17{,}5 dans l'équation :
    0,665×17,5+0,46=11,6375+0,46=12,0975.0{,}665 \times 17{,}5 + 0{,}46 = 11{,}6375 + 0{,}46 = 12{,}0975.
    On retrouve bien environ yˉ=12,1\bar{y} = 12{,}1 Go (l'écart vient des arrondis) : la droite passe donc par GG, l'équation est cohérente.

  5. 5. Estimer l'espace occupé après 22 clips

    La valeur 2222 est comprise entre 55 et 3030 clips : c'est une interpolation (fiable). On remplace xx par 2222 :
    y=0,665×22+0,46=14,63+0,46=15,09.y = 0{,}665 \times 22 + 0{,}46 = 14{,}63 + 0{,}46 = 15{,}09.
    Le modèle prévoit environ 15,0915{,}09 Go occupés.

  6. 6. Comparer à la capacité de la carte

    La carte a une capacité de 1616 Go. Comme 15,09<1615{,}09 < 16, il reste de la place, mais peu : l'espace disponible est d'environ 16−15,09=0,9116 - 15{,}09 = 0{,}91 Go. L'équation est y=0,665 x+0,46y = 0{,}665\,x + 0{,}46, la droite passe par G(17,5 ; 12,1)G(17{,}5\,;\,12{,}1) ; après 2222 clips on prévoit 15,0915{,}09 Go occupés, soit environ 0,910{,}91 Go encore disponibles sur la carte de 1616 Go.
Réponse finale
y=0,665 x+0,46;G(17,5 ; 12,1);y(22)=0,665×22+0,46=15,09 Go (<16 Go : il reste≈0,91 Go)y = 0{,}665\,x + 0{,}46 \quad ; \quad G(17{,}5\,;\,12{,}1) \quad ; \quad y(22) = 0{,}665 \times 22 + 0{,}46 = 15{,}09 \ \text{Go} \ (< 16 \ \text{Go : il reste} \approx 0{,}91 \ \text{Go})
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