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Rêves Vision
Terminale STI2D

Étalonnage d'une thermistance sur un moteur

Énoncé

Pour surveiller un moteur, on étalonne une thermistance : on relève la tension de sortie UU (en V) du capteur pour plusieurs températures TT (en °C) du moteur. Le capteur est garanti pour des températures comprises entre 2020 et 120120 °C.

| TT (°C) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| UU (V) | 2,10 | 1,78 | 1,52 | 1,27 | 1,05 | 0,82 |

1. À la calculatrice, déterminer l'équation de la droite des moindres carrés U=a T+bU = a\,T + b (arrondir aa à 0,00010{,}0001 et bb à 0,0010{,}001) et donner le coefficient de corrélation rr. Que peut-on dire de son signe et de la qualité de l'ajustement ?
2. Estimer la tension de sortie pour une température de 7070 °C.
3. En fonctionnement, le capteur renvoie U=1,40U = 1{,}40 V : à quelle température du moteur cela correspond-il ?
4. Un technicien veut estimer la tension à 160160 °C. Calculer la valeur prévue par le modèle, puis discuter sa fiabilité.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Entre les températures dans L1L_1 et les tensions dans L2L_2, puis lance la régression linéaire « aT+baT+b » : tu obtiens aa, bb et rr. Comme la tension diminue quand la température augmente, attends-toi à a<0a < 0 et r<0r < 0.
  2. Pour la question 3, tu connais UU et tu cherches TT : il faut résoudre a T+b=1,40a\,T + b = 1{,}40, donc T=U−baT = \dfrac{U - b}{a} (attention au signe de aa).
  3. Pour la question 4, compare la température 160160 °C à la plage garantie (2020 à 120120 °C) : es-tu en train d'interpoler ou d'extrapoler ? Le capteur est-il encore garanti au-delà de 120120 °C ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Obtenir l'équation et le coefficient de corrélation

    On entre les températures dans L1L_1 et les tensions dans L2L_2, puis on lance la régression linéaire (aT+baT+b). La calculatrice donne a≈−0,0126a \approx -0{,}0126, b≈2,307b \approx 2{,}307 et r≈−0,998r \approx -0{,}998. L'équation de la droite des moindres carrés est donc :
    U=−0,0126 T+2,307.U = -0{,}0126\,T + 2{,}307.

  2. 2. Interpréter le coefficient de corrélation

    La tension UU diminue quand la température TT augmente : la corrélation est donc négative, ce qui est cohérent avec r≈−0,998<0r \approx -0{,}998 < 0. De plus, ∣r∣≈0,998|r| \approx 0{,}998 est très proche de 11 (bien au-delà du seuil usuel 0,950{,}95) : les points sont presque parfaitement alignés, donc l'ajustement affine est de très bonne qualité et on peut utiliser la droite en confiance dans la plage mesurée.

  3. 3. Estimer la tension à 70 °C (interpolation)

    La température 7070 °C est comprise entre 2020 et 120120 °C : c'est une interpolation (fiable). On remplace TT par 7070 :
    U=−0,0126×70+2,307=−0,882+2,307=1,425.U = -0{,}0126 \times 70 + 2{,}307 = -0{,}882 + 2{,}307 = 1{,}425.
    La tension de sortie prévue est d'environ 1,4251{,}425 V (ce qui correspond bien à Uˉ\bar{U}, puisque 7070 °C est la moyenne des températures : la droite passe par le point moyen).

  4. 4. Retrouver la température pour U = 1,40 V

    Ici on connaît la tension et on cherche la température : on résout l'équation −0,0126 T+2,307=1,40-0{,}0126\,T + 2{,}307 = 1{,}40. On soustrait 2,3072{,}307 aux deux membres :
    −0,0126 T=1,40−2,307=−0,907,-0{,}0126\,T = 1{,}40 - 2{,}307 = -0{,}907,
    puis on divise par −0,0126-0{,}0126 :
    T=−0,907−0,0126≈71,98.T = \dfrac{-0{,}907}{-0{,}0126} \approx 71{,}98.
    Une tension de 1,401{,}40 V correspond donc à une température d'environ 7272 °C (valeur bien située dans la plage garantie : estimation fiable).

  5. 5. Calculer la prévision à 160 °C

    On applique malgré tout la formule en remplaçant TT par 160160 :
    U=−0,0126×160+2,307=−2,016+2,307=0,291.U = -0{,}0126 \times 160 + 2{,}307 = -2{,}016 + 2{,}307 = 0{,}291.
    Le modèle donne une tension prévue d'environ 0,2910{,}291 V.

  6. 6. Discuter la fiabilité de l'extrapolation

    La température 160160 °C est en dehors de la plage garantie (2020 à 120120 °C) : il s'agit d'une extrapolation. Rien ne garantit que la relation reste affine au-delà de 120120 °C, et le capteur n'est pas garanti dans cette zone (la thermistance peut se comporter autrement, voire être endommagée). La valeur 0,2910{,}291 V est donc à considérer avec prudence : elle n'est pas fiable. L'équation est U=−0,0126 T+2,307U = -0{,}0126\,T + 2{,}307 avec r≈−0,998r \approx -0{,}998 (corrélation négative, ajustement de très bonne qualité) ; à 7070 °C on prévoit 1,4251{,}425 V et U=1,40U = 1{,}40 V correspond à environ 7272 °C (estimations fiables), tandis que la valeur 0,2910{,}291 V annoncée à 160160 °C relève d'une extrapolation hors plage et n'est pas fiable.
Réponse finale
U=−0,0126 T+2,307 (r≈−0,998);U(70)=1,425 V;U=1,40 V⇒T=−0,907−0,0126≈72 °C;U(160)=0,291 V (extrapolation hors plage : non fiable)U = -0{,}0126\,T + 2{,}307 \ (r \approx -0{,}998) \quad ; \quad U(70) = 1{,}425 \ \text{V} \quad ; \quad U = 1{,}40 \ \text{V} \Rightarrow T = \dfrac{-0{,}907}{-0{,}0126} \approx 72 \ \text{°C} \quad ; \quad U(160) = 0{,}291 \ \text{V} \ \text{(extrapolation hors plage : non fiable)}
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