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Rêves Vision
Terminale STI2D

Charge cumulée d'un dispositif : comportement à long terme

Énoncé

Un dispositif de stockage reçoit chaque jour un apport d'énergie de plus en plus faible : le premier jour il emmagasine 5050 mAh, et chaque jour suivant l'apport ne représente que 90 %90\,\% de celui de la veille. L'apport du jour de rang nn (avec n=0n = 0 pour le premier jour) est donc an=50×0,9na_n = 50 \times 0{,}9^{n} (en mAh). On note SnS_n la charge totale accumulée après n+1n+1 jours. 1) Calculer la charge accumulée après les 55 premiers jours, c'est-à-dire S4S_4 (somme de a0a_0 à a4a_4). 2) Vers quelle valeur la charge totale tend-elle si le dispositif fonctionne très longtemps ?
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Les apports forment une suite géométrique : repère son premier terme a0a_0 et sa raison qq.
  2. Pour la question 1, additionne 55 termes (de a0a_0 à a4a_4) avec S=a0×1−q 51−qS = a_0 \times \frac{1 - q^{\,5}}{1 - q}.
  3. Pour la question 2, comme 0<q<10 < q < 1, le terme q n+1q^{\,n+1} tend vers 00 : la somme se rapproche de a01−q\frac{a_0}{1 - q}.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la suite des apports

    Chaque jour, l'apport est multiplié par 0,90{,}9, donc (an)(a_n) est une suite géométrique de premier terme a0=50a_0 = 50 mAh et de raison q=0,9q = 0{,}9.

  2. 2. Question 1 - poser la somme des 5 premiers termes

    La charge après les 55 premiers jours est S4=a0+a1+a2+a3+a4S_4 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4, soit 55 termes. On applique S=a0×1−q 51−q=50×1−0,951−0,9S = a_0 \times \frac{1 - q^{\,5}}{1 - q} = 50 \times \frac{1 - 0{,}9^{5}}{1 - 0{,}9}.

  3. 3. Question 1 - calculer

    On calcule 0,95=0,590490{,}9^{5} = 0{,}59049, donc le numérateur vaut 1−0,59049=0,409511 - 0{,}59049 = 0{,}40951 et le dénominateur 1−0,9=0,11 - 0{,}9 = 0{,}1. On en déduit S4=50×0,409510,1=50×4,0951=204,755S_4 = 50 \times \frac{0{,}40951}{0{,}1} = 50 \times 4{,}0951 = 204{,}755 mAh. Après les 5 premiers jours, le dispositif a accumulé environ 204,76204{,}76 mAh.

  4. 4. Question 2 - étudier la somme à long terme

    La raison q=0,9q = 0{,}9 vérifie −1<q<1-1 < q < 1, donc q n+1q^{\,n+1} tend vers 00 quand nn devient grand. La charge totale se rapproche alors de a01−q=501−0,9=500,1=500\frac{a_0}{1 - q} = \frac{50}{1 - 0{,}9} = \frac{50}{0{,}1} = 500 mAh.

  5. 5. Question 2 - interpréter

    Même en fonctionnant indéfiniment, la charge accumulée ne dépasse jamais cette valeur limite : elle se stabilise. À long terme, la charge totale tend vers 500500 mAh : le dispositif ne pourra jamais stocker davantage par ce procédé.
Réponse finale
S4=50×1−0,951−0,9=204,755 mAh;Sn⟶501−0,9=500 mAhS_4 = 50 \times \frac{1 - 0{,}9^{5}}{1 - 0{,}9} = 204{,}755 \ \text{mAh} \quad ; \quad S_n \longrightarrow \frac{50}{1 - 0{,}9} = 500 \ \text{mAh}
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