Terminale STI2D · Chapitre 1

Suites et limites

Cours de Terminale STI2D sur les suites géométriques et les limites : comportement à l'infini selon la raison, convergence, somme des termes, algorithmes de seuil. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STI2D - mathématiques · Mis à jour en juin 2026

En électronique, une tension qui se décharge perd à chaque instant le même pourcentage de sa valeur ; en traitement du signal, un écho s’atténue d’un facteur constant à chaque réflexion. Ces phénomènes se modélisent par des suites géométriques. La question naturelle est alors : que devient la grandeur au bout d’un grand nombre d’étapes ? C’est tout l’objet des limites : décrire le comportement d’une suite quand le rang $n$ devient très grand, savoir si elle converge vers une valeur ou diverge, et calculer la somme de ses termes.

Ce que tu sauras faire à la fin

Je sais reconnaître une suite géométrique et donner sa raison $q$ .
Je sais déterminer la limite d’une suite géométrique selon la valeur de $q$ .
Je sais dire si une suite converge (vers une valeur finie) ou diverge.
Je sais calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique.
Je sais écrire et utiliser un algorithme de seuil pour trouver à partir de quel rang une grandeur passe sous une valeur fixée.

À quoi ça sert vraiment ?

Quand tu débranches un condensateur, sa tension chute en suivant un facteur constant à chaque cycle : c’est une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$ , et savoir qu’elle tend vers $0$ te garantit que le circuit finit par se vider. Même logique pour un signal audio qui résonne : chaque écho est un peu plus faible que le précédent, et la somme de tous les échos reste finie - sinon le son ne s’arrêterait jamais. Maîtriser les limites, c’est pouvoir répondre à « est-ce que ça se stabilise, et vers quoi ? » sans avoir à tout calculer terme par terme.

1. Rappel : suite géométrique

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , appelé la raison : $u_{n+1} = q \times u_n.$

Son terme général, à partir du premier terme $u_0$ , s’écrit : $u_n = u_0 \times q^{n}.$

Reconnaître la raison

Un signal vaut $5$ V, et chaque réflexion ne conserve que $80\,\%$ de l’amplitude précédente. On a donc $u_0 = 5$ et, à chaque étape, on multiplie par $0{,}8$ : la suite est géométrique de raison $q = 0{,}8$ . Son terme général est : $u_n = 5 \times 0{,}8^{n}.$

2. Limite d’une suite géométrique

C’est le cœur du chapitre. Le comportement de $q^n$ quand $n$ devient grand ne dépend que de la valeur de la raison $q$ .

Limite de la suite (q puissance n)

Soit $q$ un nombre réel.

Si $-1 < q < 1$ , alors $q^n$ se rapproche de $0$ : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ .
Si $q = 1$ , alors $q^n = 1$ pour tout $n$ : la suite est constante.
Si $q > 1$ , alors $q^n$ devient de plus en plus grand : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ .

Concrètement, plus la raison est proche de $0$ , plus la suite s’éteint vite vers $0$ .

Converger ou diverger

Une suite converge lorsqu’elle se rapproche d’un nombre fini $\ell$ quand $n$ devient grand. On écrit $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ .
Sinon, la suite diverge : soit elle tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ), soit elle n’a pas de comportement stable.

Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$ avec $u_0 > 0$ :

si $-1 < q < 1$ , elle converge vers $0$ ;
si $q > 1$ , elle diverge vers $+\infty$ .

Décharge d'un condensateur (atténuation)

Une tension est modélisée par $u_n = 12 \times 0{,}8^{n}$ , où $n$ est le numéro du cycle. La raison est $q = 0{,}8$ , et $0{,}8$ est compris entre $0$ et $1$ , donc : $\lim_{n \to +\infty} 0{,}8^{n} = 0, \quad \text{d'où} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = 12 \times 0 = 0.$ Interprétation : au fil des cycles, la tension finit par s’annuler, le condensateur se décharge complètement.

Le piège du « ça grandit toujours »

On entend souvent : « on multiplie à chaque fois, donc forcément ça augmente, ça tend vers l’infini. » C’est faux dès que la raison est inférieure à $1$ .

Le vrai réflexe : regarder où se situe $q$ .

Multiplier par $0{,}8$ à chaque étape diminue la valeur : la suite tend vers $0$ .
Multiplier par $1{,}2$ à chaque étape l’augmente : la suite tend vers $+\infty$ .

Le sens de variation ne dépend pas du mot « multiplier », mais de la position de $q$ par rapport à $1$ .

3. Suites majorées, suites minorées

Majorant, minorant

Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ : aucun terme ne dépasse $M$ .
Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que $u_n \geqslant m$ pour tout $n$ : aucun terme ne descend sous $m$ .

Une suite encadrée

Pour $u_n = 12 \times 0{,}8^{n}$ : tous les termes sont positifs, donc la suite est minorée par $0$ . Le plus grand terme est le premier, $u_0 = 12$ , donc la suite est majorée par $12$ . On a ainsi $0 \leqslant u_n \leqslant 12$ pour tout $n$ : la suite est bornée, et elle décroît vers sa borne basse $0$ .

4. Somme des termes d’une suite géométrique

Somme de termes consécutifs

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ (avec $q \neq 1$ ). La somme des termes de $u_0$ jusqu’à $u_n$ vaut : $S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.$

Le nombre d’exposant, $n+1$ , est le nombre de termes additionnés.

Mémo : « 1 moins raison puissance nombre de termes »

Pour ne pas te tromper d’exposant, retiens la phrase : $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - (\text{raison})^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}.$ Si tu additionnes de $u_0$ à $u_n$ , il y a bien $n+1$ termes (on compte $u_0$  !).

Échos d'un signal

Un signal initial d’amplitude $1$ produit des échos : chaque écho vaut la moitié du précédent. On a $u_0 = 1$ et $q = 0{,}5$ . L’amplitude cumulée des $6$ premières contributions ( $u_0$ à $u_5$ , soit $6$ termes) est : $S = 1 \times \frac{1 - 0{,}5^{6}}{1 - 0{,}5} = \frac{1 - 0{,}015625}{0{,}5} = \frac{0{,}984375}{0{,}5} = 1{,}96875.$ Même en ajoutant des échos, la somme reste proche de $2$ : elle ne s’envole pas.

Somme « infinie » quand la raison est entre -1 et 1

Lorsque $-1 < q < 1$ , le terme $q^{\,n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ devient grand. La somme se rapproche alors d’une valeur limite finie : $S = u_0 + u_1 + u_2 + \dots \longrightarrow \frac{u_0}{1 - q}.$

C’est ce qui explique qu’une infinité d’échos de plus en plus faibles produise un son d’amplitude finie : avec $u_0 = 1$ et $q = 0{,}5$ , la somme tend vers $\dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$ .

5. Algorithmes de seuil

En pratique, on a souvent besoin de savoir à partir de quel rang une grandeur passe sous une valeur fixée (un seuil de sécurité, une erreur négligeable, une tension résiduelle…). On ne cherche pas une formule, on teste les termes un par un.

Trouver le plus petit rang sous un seuil

On veut le plus petit entier $n$ tel que $u_n < S$ (le seuil).

Partir du premier terme $u_0$ et d’un compteur $n = 0$ .
Tant que $u_n \geqslant S$ : calculer le terme suivant ( $u_{n+1} = q \times u_n$ ) et augmenter le compteur de $1$ .
Quand la condition $u_n < S$ est atteinte, on s’arrête : la valeur du compteur est le rang cherché.

Algorithme en pseudo-code

Pour la tension $u_n = 12 \times 0{,}8^{n}$ et un seuil de $1$ V :

n ← 0
u ← 12
Tant que u ≥ 1 :
    u ← u × 0,8
    n ← n + 1
Afficher n

En déroulant : $u_{11} \approx 1{,}03$ V (encore au-dessus de $1$ V), puis $u_{12} \approx 0{,}82$ V (sous le seuil). L’algorithme renvoie $n = 12$ : il faut 12 cycles pour que la tension passe sous $1$ V.

Compter un cran trop tôt

Erreur fréquente : s’arrêter dès que le terme approche le seuil et annoncer « c’est $u_{11}$ » parce que $u_{11} \approx 1{,}03$ « est presque à $1$ ».

Le vrai critère est une inégalité stricte : tant que $u_n \geqslant 1$ , on continue. Comme $u_{11} \approx 1{,}03 \geqslant 1$ , ce rang ne convient pas ; c’est seulement à $u_{12} \approx 0{,}82 < 1$ que la condition est vérifiée. On rend donc $n = 12$ , pas $11$ .

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Atténuation d'un signal : limite à long terme

Dans un canal de transmission, l'amplitude d'un signal est divisée par le même facteur à chaque réflexion : il ne reste que $80\,\%$ de l'amplitude à chaque étape. On modélise l'amplitude après $n$ réflexions par la suite $u_n = 0{,}8^{n}$ (en unité arbitraire, avec $u_0 = 1$ ). Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ devient très grand, puis interpréter le résultat.

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Luminosité d'une LED qui faiblit

Dans une enseigne lumineuse, une LED de signalisation s'use : sa luminosité est multipliée par $0{,}75$ à chaque millier d'heures d'utilisation. Au départ (neuve), elle éclaire à $240$ mcd (millicandelas). Après $n$ milliers d'heures, sa luminosité est modélisée par $u_n = 240 \times 0{,}75^{n}$ (en mcd). 1) Calculer la luminosité $u_3$ après $3\,000$ heures. 2) Déterminer la limite de $u_n$ quand $n$ devient très grand, puis interpréter le résultat pour la LED.

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Somme des échos d'un signal

Un signal sonore produit une série d'échos. Le son direct a une amplitude $u_0 = 1$ , et chaque écho ne conserve que la moitié de l'amplitude du précédent : la suite des amplitudes est géométrique de raison $q = 0{,}5$ . On note $S$ l'amplitude cumulée du son direct et des $5$ premiers échos, soit la somme des termes de $u_0$ à $u_5$ . Calculer $S$ .

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Charge cumulée d'un dispositif : comportement à long terme

Un dispositif de stockage reçoit chaque jour un apport d'énergie de plus en plus faible : le premier jour il emmagasine $50$ mAh, et chaque jour suivant l'apport ne représente que $90\,\%$ de celui de la veille. L'apport du jour de rang $n$ (avec $n = 0$ pour le premier jour) est donc $a_n = 50 \times 0{,}9^{n}$ (en mAh). On note $S_n$ la charge totale accumulée après $n+1$ jours. 1) Calculer la charge accumulée après les $5$ premiers jours, c'est-à-dire $S_4$ (somme de $a_0$ à $a_4$ ). 2) Vers quelle valeur la charge totale tend-elle si le dispositif fonctionne très longtemps ?

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Nombre de cycles pour passer sous un seuil de tension

Un condensateur se décharge : à chaque cycle, sa tension est multipliée par $0{,}8$ . Au départ, la tension vaut $12$ V. Après $n$ cycles, elle est modélisée par $u_n = 12 \times 0{,}8^{n}$ (en volts). On considère le composant comme « déchargé » dès que la tension passe sous $1$ V. Déterminer le plus petit nombre de cycles $n$ pour lequel $u_n < 1$ , en justifiant par les valeurs encadrantes.

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Vues cumulées d'une vidéo en pleine montée

Une courte vidéo commence à percer : le premier jour elle fait $200$ vues, et grâce au partage chaque jour suivant elle gagne $20\,\%$ de vues de plus que la veille. Le nombre de vues du jour de rang $n$ (avec $n = 0$ pour le premier jour) est donc $v_n = 200 \times 1{,}2^{n}$ . 1) Calculer le nombre total de vues accumulées sur la première semaine, c'est-à-dire la somme de $v_0$ à $v_6$ ( $7$ jours). 2) Si cette croissance se poursuivait au même rythme, le nombre de vues d'une seule journée tendrait-il vers une valeur finie ?

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Bonus

Amortissement d'un crédit d'équipement à mensualités décroissantes

Pour financer l'installation de panneaux solaires, un atelier choisit un plan de remboursement à mensualités décroissantes : la première mensualité est de $300$ €, et chaque mois la mensualité ne représente que $90\,\%$ de la précédente. La mensualité du mois de rang $n$ (avec $n = 0$ pour le premier mois) est donc $m_n = 300 \times 0{,}9^{n}$ (en euros). On note $C_n$ le capital total remboursé après $n+1$ mois. 1) Calculer le capital remboursé au bout des $6$ premiers mois, c'est-à-dire $C_5$ (somme de $m_0$ à $m_5$ ). 2) Si le plan se poursuivait indéfiniment, vers quel capital maximal le total remboursé tendrait-il ? 3) En déduire si un équipement coûtant $3\,200$ € peut être intégralement remboursé par ce plan.

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Stabilisation d'un capteur de vibrations

Après un choc sur une structure, un capteur mesure l'amplitude des oscillations qui s'amortissent : à chaque cycle, l'amplitude est multipliée par $0{,}85$ . Juste après le choc, l'amplitude vaut $8$ mm. Après $n$ cycles, elle est modélisée par $A_n = 8 \times 0{,}85^{n}$ (en mm). Le système est considéré comme « stabilisé » dès que l'amplitude passe sous $0{,}5$ mm. 1) Déterminer la limite de $A_n$ et dire si la suite converge. 2) Déterminer le plus petit nombre de cycles $n$ pour lequel $A_n < 0{,}5$ , en justifiant par les valeurs encadrantes.

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Questions fréquentes

Quelle est la limite d'une suite géométrique selon sa raison ?

Tout dépend de la raison q d'une suite géométrique de premier terme positif. Si la raison est strictement comprise entre moins un et un, la suite tend vers zéro : elle converge. Si la raison vaut un, la suite est constante. Si la raison est strictement supérieure à un, la suite tend vers plus l'infini : elle diverge. Une atténuation de signal, où chaque valeur vaut un pourcentage de la précédente, correspond toujours à une raison comprise entre zéro et un, donc à une suite qui s'éteint vers zéro.

Comment calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique ?

Pour une suite géométrique de premier terme u zéro et de raison q différente de un, la somme des termes de u zéro jusqu'à u n vaut le premier terme multiplié par la fraction dont le numérateur est un moins q puissance n plus un, et le dénominateur un moins q. Il suffit de repérer le premier terme, la raison, le nombre de termes, puis de remplacer dans la formule. Quand la raison est comprise entre moins un et un, cette somme se rapproche d'une valeur limite finie même si on additionne de plus en plus de termes.

À quoi sert un algorithme de seuil avec une suite ?

Un algorithme de seuil sert à trouver le plus petit rang à partir duquel une grandeur passe en dessous, ou au dessus, d'une valeur fixée. On part du premier terme, puis on calcule les termes suivants un par un en comptant les étapes, jusqu'à ce que la condition soit remplie. C'est exactement ce que l'on fait pour savoir au bout de combien de cycles une tension descend sous un volt, ou combien d'itérations sont nécessaires pour qu'une erreur devienne négligeable.