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Rêves Vision
Terminale STI2D

Somme des échos d'un signal

Énoncé

Un signal sonore produit une série d'échos. Le son direct a une amplitude u0=1u_0 = 1, et chaque écho ne conserve que la moitié de l'amplitude du précédent : la suite des amplitudes est géométrique de raison q=0,5q = 0{,}5. On note SS l'amplitude cumulée du son direct et des 55 premiers échos, soit la somme des termes de u0u_0 à u5u_5. Calculer SS.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Repérer les éléments de la somme

    La suite est géométrique de premier terme u0=1u_0 = 1 et de raison q=0,5q = 0{,}5. On additionne les termes de u0u_0 à u5u_5 : il y a donc 66 termes (on compte bien u0u_0).

  2. 2. Écrire la formule de la somme

    Pour une suite géométrique de raison q≠1q \neq 1, la somme de u0u_0 à unu_n vaut S=u0×1−q n+11−qS = u_0 \times \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}. Ici n=5n = 5, donc l'exposant est n+1=6n + 1 = 6 (le nombre de termes) : S=1×1−0,561−0,5S = 1 \times \frac{1 - 0{,}5^{6}}{1 - 0{,}5}.

  3. 3. Calculer la puissance

    On calcule d'abord 0,56=0,0156250{,}5^{6} = 0{,}015625. Donc le numérateur vaut 1−0,015625=0,9843751 - 0{,}015625 = 0{,}984375 et le dénominateur 1−0,5=0,51 - 0{,}5 = 0{,}5.

  4. 4. Effectuer le quotient

    On en déduit S=0,9843750,5=1,96875S = \frac{0{,}984375}{0{,}5} = 1{,}96875. L'amplitude cumulée du son direct et des 5 premiers échos vaut S=1,96875S = 1{,}96875 (en unité arbitraire), soit un peu moins de 2.
Réponse finale
S=1×1−0,561−0,5=0,9843750,5=1,96875S = 1 \times \frac{1 - 0{,}5^{6}}{1 - 0{,}5} = \frac{0{,}984375}{0{,}5} = 1{,}96875
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