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Rêves Vision
Terminale STI2D

Atténuation d'un signal : limite à long terme

Énoncé

Dans un canal de transmission, l'amplitude d'un signal est divisée par le même facteur à chaque réflexion : il ne reste que 80 %80\,\% de l'amplitude à chaque étape. On modélise l'amplitude après nn réflexions par la suite un=0,8nu_n = 0{,}8^{n} (en unité arbitraire, avec u0=1u_0 = 1). Déterminer la limite de unu_n quand nn devient très grand, puis interpréter le résultat.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la nature de la suite

    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 0,80{,}8, donc (un)(u_n) est une suite géométrique de raison q=0,8q = 0{,}8 et de premier terme u0=1u_0 = 1.

  2. 2. Situer la raison par rapport à 1

    La raison vaut q=0,8q = 0{,}8, et on a −1<0,8<1-1 < 0{,}8 < 1. D'après le cours, lorsque la raison est strictement comprise entre −1-1 et 11, la suite qnq^{n} se rapproche de 00.

  3. 3. Conclure sur la limite

    On en déduit que lim⁡n→+∞0,8n=0\lim_{n \to +\infty} 0{,}8^{n} = 0, c'est-à-dire lim⁡n→+∞un=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 0. La suite converge vers 00.

  4. 4. Interpréter dans le contexte

    Comme l'amplitude tend vers 00 au fil des réflexions, le signal finit par s'éteindre : après un grand nombre de réflexions, il devient négligeable. À long terme, l'amplitude du signal tend vers 00 : le signal s'atténue jusqu'à disparaître.
Réponse finale
lim⁡n→+∞un=lim⁡n→+∞0,8n=0(le signal s’eˊteint)\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 0{,}8^{n} = 0 \quad (\text{le signal s'éteint})
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