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Rêves Vision
Terminale STI2D

Luminosité d'une LED qui faiblit

Énoncé

Dans une enseigne lumineuse, une LED de signalisation s'use : sa luminosité est multipliée par 0,750{,}75 à chaque millier d'heures d'utilisation. Au départ (neuve), elle éclaire à 240240 mcd (millicandelas). Après nn milliers d'heures, sa luminosité est modélisée par un=240×0,75nu_n = 240 \times 0{,}75^{n} (en mcd). 1) Calculer la luminosité u3u_3 après 3 0003\,000 heures. 2) Déterminer la limite de unu_n quand nn devient très grand, puis interpréter le résultat pour la LED.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la nature de la suite

    On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 0,750{,}75, donc (un)(u_n) est une suite géométrique de premier terme u0=240u_0 = 240 mcd et de raison q=0,75q = 0{,}75.

  2. 2. Question 1 - calculer la luminosité après 3 000 heures

    Le rang 33 correspond à 33 milliers d'heures. On calcule 0,753=0,4218750{,}75^{3} = 0{,}421875, donc u3=240×0,421875=101,25u_3 = 240 \times 0{,}421875 = 101{,}25. Après 3 0003\,000 heures, la LED éclaire à u3=101,25u_3 = 101{,}25 mcd, soit un peu moins de la moitié de sa luminosité initiale.

  3. 3. Question 2 - situer la raison par rapport à 1

    La raison vaut q=0,75q = 0{,}75, et on a −1<0,75<1-1 < 0{,}75 < 1. D'après le cours, lorsque la raison est strictement comprise entre −1-1 et 11, la suite qnq^{n} se rapproche de 00 : lim⁡n→+∞0,75n=0\lim_{n \to +\infty} 0{,}75^{n} = 0.

  4. 4. Question 2 - conclure sur la limite

    On en déduit lim⁡n→+∞un=240×0=0\lim_{n \to +\infty} u_n = 240 \times 0 = 0, donc la suite converge vers 00. Comme la luminosité tend vers 00 au fil des heures d'usage, la LED finit par ne plus éclairer du tout : il faudra la remplacer. À long terme, la luminosité de la LED tend vers 00 mcd.
Réponse finale
u3=240×0,753=101,25 mcd;lim⁡n→+∞un=240×0=0 mcdu_3 = 240 \times 0{,}75^{3} = 101{,}25 \ \text{mcd} \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = 240 \times 0 = 0 \ \text{mcd}
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