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Rêves Vision
Terminale STI2D

Vues cumulées d'une vidéo en pleine montée

Énoncé

Une courte vidéo commence à percer : le premier jour elle fait 200200 vues, et grâce au partage chaque jour suivant elle gagne 20 %20\,\% de vues de plus que la veille. Le nombre de vues du jour de rang nn (avec n=0n = 0 pour le premier jour) est donc vn=200×1,2nv_n = 200 \times 1{,}2^{n}. 1) Calculer le nombre total de vues accumulées sur la première semaine, c'est-à-dire la somme de v0v_0 à v6v_6 (77 jours). 2) Si cette croissance se poursuivait au même rythme, le nombre de vues d'une seule journée tendrait-il vers une valeur finie ?

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Identifier la suite des vues quotidiennes

    Chaque jour, le nombre de vues est multiplié par 1,21{,}2 (gagner 20 %20\,\% revient à multiplier par 1+0,2=1,21 + 0{,}2 = 1{,}2), donc (vn)(v_n) est une suite géométrique de premier terme v0=200v_0 = 200 et de raison q=1,2q = 1{,}2.

  2. 2. Question 1 - poser la somme des 7 premiers jours

    Le total de la semaine est S=v0+v1+⋯+v6S = v_0 + v_1 + \dots + v_6, soit 77 termes (on compte bien v0v_0). On applique la formule S=v0×1−q n+11−qS = v_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q} avec n=6n = 6, donc l'exposant est n+1=7n + 1 = 7 : S=200×1−1,271−1,2S = 200 \times \dfrac{1 - 1{,}2^{7}}{1 - 1{,}2}.

  3. 3. Question 1 - calculer la puissance

    On calcule 1,27=3,58318081{,}2^{7} = 3{,}5831808. Le numérateur vaut 1−3,5831808=−2,58318081 - 3{,}5831808 = -2{,}5831808 et le dénominateur 1−1,2=−0,21 - 1{,}2 = -0{,}2.

  4. 4. Question 1 - effectuer le quotient

    On en déduit S=200×−2,5831808−0,2=200×12,915904=2 583,1808S = 200 \times \dfrac{-2{,}5831808}{-0{,}2} = 200 \times 12{,}915904 = 2\,583{,}1808. Comme un nombre de vues est entier, la vidéo a accumulé environ 2 5832\,583 vues sur sa première semaine.

  5. 5. Question 2 - situer la raison par rapport à 1

    Ici la raison vaut q=1,2q = 1{,}2, et on a q>1q > 1. D'après le cours, lorsque la raison est strictement supérieure à 11, la suite qnq^{n} devient de plus en plus grande : lim⁡n→+∞1,2n=+∞\lim_{n \to +\infty} 1{,}2^{n} = +\infty, donc lim⁡n→+∞vn=+∞\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty.

  6. 6. Question 2 - conclure et interpréter

    Le nombre de vues d'une journée ne tend pas vers une valeur finie : la suite diverge vers +∞+\infty. Non : à ce rythme de +20 %+20\,\% par jour, le nombre de vues quotidien augmente sans limite (il diverge vers +∞+\infty) ; en réalité une telle croissance finit toujours par ralentir, le modèle n'est donc valable que sur quelques jours.
Réponse finale
S=200×1−1,271−1,2=2 583,1808≈2 583 vues;lim⁡n→+∞vn=+∞S = 200 \times \dfrac{1 - 1{,}2^{7}}{1 - 1{,}2} = 2\,583{,}1808 \approx 2\,583 \ \text{vues} \quad ; \quad \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty
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