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Rêves Vision
Terminale STI2D

Nombre de cycles pour passer sous un seuil de tension

Énoncé

Un condensateur se décharge : à chaque cycle, sa tension est multipliée par 0,80{,}8. Au départ, la tension vaut 1212 V. Après nn cycles, elle est modélisée par un=12×0,8nu_n = 12 \times 0{,}8^{n} (en volts). On considère le composant comme « déchargé » dès que la tension passe sous 11 V. Déterminer le plus petit nombre de cycles nn pour lequel un<1u_n < 1, en justifiant par les valeurs encadrantes.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Écris l'inégalité à résoudre : tu cherches le plus petit entier nn tel que 12×0,8n<112 \times 0{,}8^{n} < 1.
  2. Calcule les termes un par un (ou avec un algorithme de seuil) jusqu'à passer sous 11 V, et compte les cycles.
  3. Vérifie l'encadrement : il faut un⩾1u_n \geqslant 1 juste avant, et un<1u_n < 1 au rang trouvé. Le critère est une inégalité stricte.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Traduire la condition par une inégalité

    On cherche le plus petit entier nn tel que la tension soit sous le seuil, c'est-à-dire un<1u_n < 1, donc 12×0,8n<112 \times 0{,}8^{n} < 1.

  2. 2. Décrire l'algorithme de seuil

    On teste les termes successifs tant que la tension reste au-dessus du seuil : tant que un⩾1u_n \geqslant 1, on calcule le terme suivant (un+1=0,8×unu_{n+1} = 0{,}8 \times u_n) et on compte un cycle de plus. On s'arrête dès que un<1u_n < 1.

  3. 3. Calculer les termes proches du seuil

    En calculant : u10=12×0,810≈1,29u_{10} = 12 \times 0{,}8^{10} \approx 1{,}29 V, puis u11=12×0,811≈1,03u_{11} = 12 \times 0{,}8^{11} \approx 1{,}03 V. Ces deux valeurs sont supérieures ou égales à 11 V, donc on continue.

  4. 4. Repérer le premier terme sous le seuil

    Au cycle suivant : u12=12×0,812≈0,82u_{12} = 12 \times 0{,}8^{12} \approx 0{,}82 V, ce qui est strictement inférieur à 11 V. On a donc u11≈1,03⩾1u_{11} \approx 1{,}03 \geqslant 1 mais u12≈0,82<1u_{12} \approx 0{,}82 < 1 : c'est au rang 1212 que la condition est vérifiée pour la première fois.

  5. 5. Conclure

    Le plus petit nombre de cycles cherché est n=12n = 12. Il faut 1212 cycles pour que la tension du condensateur passe sous 11 V.
Réponse finale
u11≈1,03⩾1etu12≈0,82<1⇒n=12 cyclesu_{11} \approx 1{,}03 \geqslant 1 \quad \text{et} \quad u_{12} \approx 0{,}82 < 1 \quad \Rightarrow \quad n = 12 \ \text{cycles}
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