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Rêves Vision
Terminale STI2D

Stabilisation d'un capteur de vibrations

Énoncé

Après un choc sur une structure, un capteur mesure l'amplitude des oscillations qui s'amortissent : à chaque cycle, l'amplitude est multipliée par 0,850{,}85. Juste après le choc, l'amplitude vaut 88 mm. Après nn cycles, elle est modélisée par An=8×0,85nA_n = 8 \times 0{,}85^{n} (en mm). Le système est considéré comme « stabilisé » dès que l'amplitude passe sous 0,50{,}5 mm. 1) Déterminer la limite de AnA_n et dire si la suite converge. 2) Déterminer le plus petit nombre de cycles nn pour lequel An<0,5A_n < 0{,}5, en justifiant par les valeurs encadrantes.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Question 1 : repère la raison qq et compare-la à 11 ; ici 0<q<10 < q < 1, donc pense à la limite de qnq^{n}.
  2. Question 2 : écris l'inégalité 8×0,85n<0,58 \times 0{,}85^{n} < 0{,}5, puis calcule les termes un par un (ou avec un algorithme de seuil) jusqu'à passer sous 0,50{,}5 mm.
  3. Attention au critère : il faut An⩾0,5A_n \geqslant 0{,}5 juste avant et An<0,5A_n < 0{,}5 au rang trouvé. C'est une inégalité stricte, donc une valeur comme 0,5050{,}505 ne convient pas encore.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Identifier la nature de la suite

    À chaque cycle, l'amplitude est multipliée par 0,850{,}85, donc (An)(A_n) est une suite géométrique de premier terme A0=8A_0 = 8 mm et de raison q=0,85q = 0{,}85.

  2. 2. Question 1 - déterminer la limite

    La raison vaut q=0,85q = 0{,}85, et on a −1<0,85<1-1 < 0{,}85 < 1. D'après le cours, lim⁡n→+∞0,85n=0\lim_{n \to +\infty} 0{,}85^{n} = 0, donc lim⁡n→+∞An=8×0=0\lim_{n \to +\infty} A_n = 8 \times 0 = 0. La suite converge vers 00 : les oscillations s'amortissent jusqu'à disparaître.

  3. 3. Question 2 - traduire la condition par une inégalité

    On cherche le plus petit entier nn tel que l'amplitude soit sous le seuil, c'est-à-dire An<0,5A_n < 0{,}5, donc 8×0,85n<0,58 \times 0{,}85^{n} < 0{,}5.

  4. 4. Question 2 - décrire l'algorithme de seuil

    On teste les termes successifs tant que l'amplitude reste au-dessus du seuil : tant que An⩾0,5A_n \geqslant 0{,}5, on calcule le terme suivant (An+1=0,85×AnA_{n+1} = 0{,}85 \times A_n) et on compte un cycle de plus. On s'arrête dès que An<0,5A_n < 0{,}5.

  5. 5. Question 2 - calculer les termes proches du seuil

    En calculant : A16=8×0,8516≈0,594A_{16} = 8 \times 0{,}85^{16} \approx 0{,}594 mm, puis A17=8×0,8517≈0,505A_{17} = 8 \times 0{,}85^{17} \approx 0{,}505 mm. Ces deux valeurs sont supérieures ou égales à 0,50{,}5 mm, donc on continue (même 0,5050{,}505, qui en est tout proche, reste au-dessus).

  6. 6. Question 2 - repérer le premier terme sous le seuil et conclure

    Au cycle suivant : A18=8×0,8518≈0,429A_{18} = 8 \times 0{,}85^{18} \approx 0{,}429 mm, ce qui est strictement inférieur à 0,50{,}5 mm. On a donc A17≈0,505⩾0,5A_{17} \approx 0{,}505 \geqslant 0{,}5 mais A18≈0,429<0,5A_{18} \approx 0{,}429 < 0{,}5 : c'est au rang 1818 que la condition est vérifiée pour la première fois. Il faut 1818 cycles pour que l'amplitude passe sous 0,50{,}5 mm : le capteur considère alors la structure comme stabilisée.
Réponse finale
lim⁡n→+∞An=0;A17≈0,505⩾0,5 et A18≈0,429<0,5 ⇒ n=18 cycles\lim_{n \to +\infty} A_n = 0 \quad ; \quad A_{17} \approx 0{,}505 \geqslant 0{,}5 \ \text{et} \ A_{18} \approx 0{,}429 < 0{,}5 \ \Rightarrow \ n = 18 \ \text{cycles}
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