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Terminale STMG

Dériver un coût moyen avec un terme en 1 sur q

Énoncé

Une plateforme de streaming héberge qq centaines d'abonnés (avec q∈[10 ; 80]q \in [10\,;\,80]). Son coût moyen mensuel par centaine d'abonnés, en euros, est modélisé par CM(q)=0,2 q+8+500qC_M(q) = 0{,}2\,q + 8 + \dfrac{500}{q}. Calculer la fonction dérivée CM′(q)C_M'(q), puis la valeur de CM′(50)C_M'(50).

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

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  1. 1. Dériver le terme affine

    On dérive terme par terme. Pour la partie affine : (0,2 q)′=0,2\big(0{,}2\,q\big)' = 0{,}2 et la constante 88 a une dérivée nulle, donc (0,2 q+8)′=0,2.\big(0{,}2\,q + 8\big)' = 0{,}2.

  2. 2. Dériver le terme en 1 sur q

    On utilise la dérivée usuelle (1q)′=−1q2\left(\dfrac{1}{q}\right)' = -\dfrac{1}{q^2} et la règle (k u)′=k u′\big(k\,u\big)' = k\,u' avec k=500k = 500. Donc (500q)′=500×(−1q2)=−500q2.\left(\dfrac{500}{q}\right)' = 500 \times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) = -\dfrac{500}{q^2}.

  3. 3. Additionner

    En additionnant terme par terme : CM′(q)=0,2−500q2C_M'(q) = 0{,}2 - \dfrac{500}{q^2} sur [10 ; 80].[10\,;\,80].

  4. 4. Évaluer en q = 50

    D'après l'expression obtenue, CM′(50)=0,2−500502=0,2−5002 500=0,2−0,2=0.C_M'(50) = 0{,}2 - \dfrac{500}{50^2} = 0{,}2 - \dfrac{500}{2\,500} = 0{,}2 - 0{,}2 = 0. On a donc CM′(q)=0,2−500q2C_M'(q) = 0{,}2 - \dfrac{500}{q^2}, et CM′(50)=0C_M'(50) = 0, ce qui signale un coût moyen optimal autour de 5050 centaines d'abonnés.
Réponse finale
CM′(q)=0,2−500q2etCM′(50)=0C_M'(q) = 0{,}2 - \dfrac{500}{q^2} \quad\text{et}\quad C_M'(50) = 0
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