Terminale STMG · Chapitre 1

Dérivation et applications à la gestion

Cours de Terminale STMG sur la dérivation : nombre dérivé, dérivées usuelles, signe de la dérivée, variations et optimisation d'un coût ou d'un bénéfice. Exercices corrigés.

8 exercices corrigés · Terminale STMG - mathématiques (programme 2019) · Mis à jour en juin 2026

Prérequis

À maîtriser avant d'attaquer ce chapitre :

Taux d'évolution et indices

Quelle quantité produire pour gagner le plus d’argent ? À partir de combien d’unités un atelier devient-il rentable ? En gestion, les coûts, les recettes et les bénéfices se modélisent par des fonctions. La dérivation est l’outil qui mesure comment ces fonctions varient : son signe donne le sens de variation, et là où elle s’annule en changeant de signe se cachent les optimums - le coût minimal, le bénéfice maximal.

Ce que tu sauras faire

Je sais interpréter le nombre dérivé $f'(a)$ comme la pente de la tangente au point d’abscisse $a$ .
Je connais les dérivées usuelles ( $x^n$ , une constante, $\dfrac{1}{x}$ ) et je sais dériver une somme et $k\,u$ .
Je sais dériver un polynôme terme par terme.
Je sais étudier le signe de $f'$ pour dresser le tableau de variations de $f$ et repérer ses extremums.
Je sais optimiser une grandeur économique : maximiser un bénéfice, minimiser un coût.

À quoi ça sert ?

Imagine que tu gères un atelier. Produire trop peu, tu ne couvres pas tes frais fixes ; produire trop, le coût de chaque unité supplémentaire explose. La dérivée du bénéfice te dit exactement où t’arrêter : tant qu’elle est positive, chaque unité produite en plus rapporte ; dès qu’elle devient négative, tu perds de l’argent. Bénéfice de l’outil : une seule quantité, calculée proprement, au lieu de tâtonner. Coût : il faut savoir dériver et lire un signe - c’est tout l’objet de ce chapitre.

Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ . Il mesure la vitesse de variation de $f$ autour de $a$ :

si $f'(a) > 0$ , la courbe monte au point d’abscisse $a$ ;
si $f'(a) < 0$ , la courbe descend ;
si $f'(a) = 0$ , la tangente est horizontale.

La tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$ .

Dérivées usuelles

Pour les fonctions de référence du programme :

$\big(k\big)' = 0$ pour toute constante $k$ , et $\big(x\big)' = 1$ .
$\big(x^2\big)' = 2x \qquad \big(x^3\big)' = 3x^2 \qquad \big(x^n\big)' = n\,x^{\,n-1}$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ (sur un intervalle où $x \neq 0$ ).

Dérivée d'une somme et de k fois u

Si $u$ et $v$ sont dérivables et $k$ une constante : $(u + v)' = u' + v' \qquad\qquad (k\,u)' = k\,u'$ On dérive donc terme par terme en conservant les coefficients.

Dérivée d'un polynôme

Pour un polynôme, on applique les règles précédentes à chaque terme. Par exemple : $f(x) = 0{,}1\,x^3 - 6\,x^2 + 90\,x - 200$ $f'(x) = 0{,}1 \times 3x^2 - 6 \times 2x + 90 = 0{,}3\,x^2 - 12\,x + 90$ Le terme constant $-200$ disparaît, et chaque exposant descend de un.

Signe de f' et variations de f

Sur un intervalle $I$ :

si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ ;
si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .

Là où $f'$ s’annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local : un maximum si $f'$ passe de $+$ à $-$ , un minimum si $f'$ passe de $-$ à $+$ .

Optimiser un coût ou un bénéfice

Identifier la fonction à optimiser ( $B$ pour un bénéfice, $C$ pour un coût…) et son intervalle d’étude.
Calculer la dérivée, puis résoudre $f'(x) = 0$ .
Étudier le signe de $f'$ sur l’intervalle (un tableau de signes).
Dresser le tableau de variations et repérer l’extremum cherché.
Calculer la valeur de la fonction à l’optimum et conclure avec l’unité (en euros, par exemple).

Bénéfice maximal d'une entreprise

Le bénéfice (en euros) pour $q$ articles vendus est $B(q) = -2q^2 + 240q - 1\,800$ sur $[0\,;\,120]$ .

Dériver : $B'(q) = -2 \times 2q + 240 = -4q + 240$ .

Annuler : $B'(q) = 0 \iff -4q + 240 = 0 \iff q = 60$ .

Signe : le coefficient de $q$ est $-4 < 0$ , donc $B'(q) > 0$ pour $q < 60$ et $B'(q) < 0$ pour $q > 60$ . Le bénéfice croît jusqu’à $q = 60$ puis décroît : maximum en $q = 60$ .

Valeur : $B(60) = -2 \times 60^2 + 240 \times 60 - 1\,800 = -7\,200 + 14\,400 - 1\,800 = 5\,400$ .

Le bénéfice est donc maximal pour $60$ articles vendus, et vaut alors $5\,400$ €.

Le piège du signe et de l'unité

FAUX : croire que la quantité optimale est la réponse finale.

VRAI : la valeur $q$ où $f'$ s’annule donne où se situe l’optimum ; il faut ensuite calculer $f(q)$ pour obtenir le coût ou le bénéfice en euros. Et attention : une dérivée qui s’annule ne suffit pas, il faut vérifier le changement de signe (de $+$ à $-$ pour un maximum).

Exercices corrigés

Du plus simple au plus exigeant. Cherche d'abord seul, puis déroule le corrigé détaillé.

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Calculer un coût marginal

Une entreprise produit $q$ articles par jour. Son coût total de production, en euros, est $C(q) = 0{,}5\,q^2 + 4q + 30$ pour $q \in [0\,;\,50]$ . Calculer la fonction dérivée $C'(q)$ , puis le coût marginal $C'(20)$ et interpréter ce résultat.

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Dériver un coût moyen avec un terme en 1 sur q

Une plateforme de streaming héberge $q$ centaines d'abonnés (avec $q \in [10\,;\,80]$ ). Son coût moyen mensuel par centaine d'abonnés, en euros, est modélisé par $C_M(q) = 0{,}2\,q + 8 + \dfrac{500}{q}$ . Calculer la fonction dérivée $C_M'(q)$ , puis la valeur de $C_M'(50)$ .

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Dériver une fonction de coût polynôme

Le coût total de production, en euros, de $q$ unités est modélisé par $C(q) = 0{,}1\,q^3 - 2\,q^2 + 30q + 500$ pour $q \in [0\,;\,40]$ . Calculer la fonction dérivée $C'(q)$ .

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Maximiser un bénéfice

Une entreprise vend $q$ articles par semaine. Son bénéfice, en euros, est modélisé par $B(q) = -0{,}5\,q^2 + 60q - 1\,000$ pour $q \in [0\,;\,120]$ . Déterminer le nombre d'articles à vendre pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.

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Minimiser un coût de production

Un atelier personnalise des sneakers. Pour une série de $q$ dizaines de paires (avec $q \in [5\,;\,40]$ ), le coût de production par paire, en euros, est modélisé par $C(q) = 2\,q^2 - 80\,q + 1\,200$ . Déterminer le nombre de dizaines de paires qui rend ce coût minimal, puis calculer ce coût minimal.

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Tangente à une courbe de coût

Le coût total de production, en euros, de $q$ articles est $C(q) = 0{,}25\,q^2 + 5q + 100$ pour $q \in [0\,;\,60]$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $C$ au point d'abscisse $q = 20$ , puis interpréter son coefficient directeur.

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Optimiser un bénéfice avec un discriminant

Un studio édite un jeu vidéo en ligne. Son bénéfice net mensuel, en milliers d'euros, en fonction du prix de vente $q$ (en euros, avec $q \in [5\,;\,40]$ ) est modélisé par $B(q) = -q^3 + 60\,q^2 - 900\,q + 1\,000$ . Étudier les variations de $B$ sur $[5\,;\,40]$ , puis déterminer le prix de vente qui rend le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.

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Bonus

Optimiser un bénéfice modélisé par un degré 3

Le bénéfice, en euros, réalisé par un atelier qui vend $q$ articles par jour est $B(q) = -q^3 + 75\,q^2 - 1\,200\,q + 2\,000$ pour $q \in [0\,;\,50]$ . Étudier les variations de $B$ , puis déterminer le nombre d'articles à vendre pour rendre le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.

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Quiz : 6 questions auto-corrigées

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Questions fréquentes

À quoi sert la dérivée en gestion ?

La dérivée mesure comment une grandeur économique varie. Son signe indique si une fonction de coût, de recette ou de bénéfice augmente ou diminue. C'est l'outil qui permet de trouver la quantité à produire pour maximiser un bénéfice ou minimiser un coût moyen.

Comment dériver un polynôme ?

On dérive terme par terme grâce aux dérivées usuelles, puis on additionne. La dérivée de x puissance n est n fois x puissance (n moins 1), la dérivée d'une constante est nulle, et le coefficient k d'un terme est conservé. Par exemple, la dérivée de 0,1 fois x au cube moins 6 fois x au carré plus 90 fois x est 0,3 fois x au carré moins 12 fois x plus 90.

Comment trouver le bénéfice maximal d'une entreprise ?

On calcule la dérivée de la fonction bénéfice, on cherche la quantité où cette dérivée s'annule en passant du positif au négatif, puis on dresse le tableau de variations. Cette quantité donne le maximum ; on calcule alors la valeur du bénéfice en euros pour cette quantité.