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Terminale STMG

Minimiser un coût de production

Énoncé

Un atelier personnalise des sneakers. Pour une série de qq dizaines de paires (avec q∈[5 ; 40]q \in [5\,;\,40]), le coût de production par paire, en euros, est modélisé par C(q)=2 q2−80 q+1 200C(q) = 2\,q^2 - 80\,q + 1\,200. Déterminer le nombre de dizaines de paires qui rend ce coût minimal, puis calculer ce coût minimal.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    On dérive terme par terme : (2 q2)′=2×2q=4q\big(2\,q^2\big)' = 2 \times 2q = 4q, (−80 q)′=−80\big(-80\,q\big)' = -80 et la constante 1 2001\,200 a une dérivée nulle. Donc C′(q)=4q−80.C'(q) = 4q - 80.

  2. 2. Annuler la dérivée

    On résout C′(q)=0C'(q) = 0 : 4q−80=0  ⟺  4q=80  ⟺  q=20.4q - 80 = 0 \iff 4q = 80 \iff q = 20.

  3. 3. Étudier le signe de C′

    Le coefficient de qq est 4>04 > 0, donc C′(q)<0C'(q) < 0 pour q<20q < 20 et C′(q)>0C'(q) > 0 pour q>20q > 20. D'après le signe de C′C', le coût est décroissant sur [5 ; 20][5\,;\,20] puis croissant sur [20 ; 40][20\,;\,40] : comme C′C' passe de −- à ++, CC admet un minimum en q=20.q = 20.

  4. 4. Calculer le coût minimal

    On calcule C(20)=2×202−80×20+1 200=2×400−1 600+1 200=800−1 600+1 200=400.C(20) = 2 \times 20^2 - 80 \times 20 + 1\,200 = 2 \times 400 - 1\,600 + 1\,200 = 800 - 1\,600 + 1\,200 = 400. Le coût par paire est donc minimal pour 2020 dizaines de paires (soit 200200 paires), et vaut alors 400400 €.
Réponse finale
q=20etCmin⁡=C(20)=400 €q = 20 \quad\text{et}\quad C_{\min} = C(20) = 400 \text{ €}
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