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Rêves Vision
Terminale STMG Bonus premium

Optimiser un bénéfice modélisé par un degré 3

Énoncé

Le bénéfice, en euros, réalisé par un atelier qui vend qq articles par jour est B(q)=q3+75q21200q+2000B(q) = -q^3 + 75\,q^2 - 1\,200\,q + 2\,000 pour q[0;50]q \in [0\,;\,50]. Étudier les variations de BB, puis déterminer le nombre d'articles à vendre pour rendre le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dérive terme par terme : la dérivée d'un degré 3 est un trinôme du second degré. Tu obtiens B(q)=3q2+150q1200.B'(q) = -3q^2 + 150q - 1\,200.
  2. Factorise par 3-3 : B(q)=3(q250q+400)B'(q) = -3\big(q^2 - 50q + 400\big). Cherche ensuite les racines de q250q+400q^2 - 50q + 400 (somme 5050, produit 400400).
  3. Les racines sont 1010 et 4040. Un trinôme 3(q10)(q40)-3(q - 10)(q - 40) est du signe de son coefficient de tête 3-3 à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles. Repère où BB' passe de ++ à - : c'est là qu'est le maximum.
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