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Terminale STMG Approfondissement gratuit

Optimiser un bénéfice modélisé par un degré 3

Énoncé

Le bénéfice, en euros, réalisé par un atelier qui vend qq articles par jour est B(q)=−q3+75 q2−1 200 q+2 000B(q) = -q^3 + 75\,q^2 - 1\,200\,q + 2\,000 pour q∈[0 ; 50]q \in [0\,;\,50]. Étudier les variations de BB, puis déterminer le nombre d'articles à vendre pour rendre le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.
Besoin d'un coup de pouce ?
  1. Dérive terme par terme : la dérivée d'un degré 3 est un trinôme du second degré. Tu obtiens B′(q)=−3q2+150q−1 200.B'(q) = -3q^2 + 150q - 1\,200.
  2. Factorise par −3-3 : B′(q)=−3(q2−50q+400)B'(q) = -3\big(q^2 - 50q + 400\big). Cherche ensuite les racines de q2−50q+400q^2 - 50q + 400 (somme 5050, produit 400400).
  3. Les racines sont 1010 et 4040. Un trinôme −3(q−10)(q−40)-3(q - 10)(q - 40) est du signe de son coefficient de tête −3-3 à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre elles. Repère où B′B' passe de ++ à −- : c'est là qu'est le maximum.

Mode élève : cherche d'abord par toi-même (les coups de pouce sont là pour t'aider), puis passe en vue « Corrigé » pour vérifier.

Voir le corrigé détaillé

  1. 1. Dériver

    On dérive terme par terme : (−q3)′=−3q2\big(-q^3\big)' = -3q^2, (75 q2)′=150q\big(75\,q^2\big)' = 150q, (−1 200 q)′=−1 200\big(-1\,200\,q\big)' = -1\,200 et la constante 2 0002\,000 a une dérivée nulle. Donc B′(q)=−3q2+150q−1 200.B'(q) = -3q^2 + 150q - 1\,200.

  2. 2. Factoriser la dérivée

    On met −3-3 en facteur : B′(q)=−3(q2−50q+400).B'(q) = -3\big(q^2 - 50q + 400\big). Le trinôme q2−50q+400q^2 - 50q + 400 a pour racines 1010 et 4040 (car 10+40=5010 + 40 = 50 et 10×40=40010 \times 40 = 400), d'où B′(q)=−3(q−10)(q−40).B'(q) = -3(q - 10)(q - 40).

  3. 3. Étudier le signe de B′

    Le coefficient de tête −3-3 est négatif : B′(q)<0B'(q) < 0 à l'extérieur des racines et B′(q)>0B'(q) > 0 entre 1010 et 4040. Ainsi, sur [0 ; 50][0\,;\,50], BB est décroissante sur [0 ; 10][0\,;\,10], croissante sur [10 ; 40][10\,;\,40], puis décroissante sur [40 ; 50][40\,;\,50]. Le bénéfice admet donc un maximum en q=40q = 40 (où B′B' passe de ++ à −-).

  4. 4. Calculer le bénéfice maximal

    B(40)=−403+75×402−1 200×40+2 000=−64 000+75×1 600−48 000+2 000.B(40) = -40^3 + 75 \times 40^2 - 1\,200 \times 40 + 2\,000 = -64\,000 + 75 \times 1\,600 - 48\,000 + 2\,000. Or 75×1 600=120 00075 \times 1\,600 = 120\,000, donc B(40)=−64 000+120 000−48 000+2 000=10 000.B(40) = -64\,000 + 120\,000 - 48\,000 + 2\,000 = 10\,000. Le bénéfice est donc maximal pour 4040 articles vendus par jour, et vaut alors 10 00010\,000 €.
Réponse finale
q=40 articlesetBmax⁡=B(40)=10 000 €q = 40 \text{ articles} \quad\text{et}\quad B_{\max} = B(40) = 10\,000 \text{ €}
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